Bingung sendiri pas lihat himpunan di Modul 1 bertabrakan dengan logika di Modul 3. Padahal keduanya dasar banget buat MATA4101 Pengantar Matematika, cuma beda pendekatan. Apalagi soal fungsi satu-satu di Modul 7 makin bikin mumet. Soal UT di halaman ini coba rangkumkan topik-topik yang sering muncul, biar kamu nggak bolak-balik baca modul. Bank soal UT Sistem Informasi juga termasuk untuk latihan-latihan serupa.
Modul 1 tentang operasi himpunan dan Modul 4 soal sistem bilangan real itu dua topik yang paling sering bikin mahasiswa UT keder. Bukan lantaran materinya sulit, tapi karena konsepnya saling terkait. Padahal keduanya jadi fondasi buat modul selanjutnya. Soal UAS UT di bawah ini diambil langsung dari KB yang paling sering diujikan, jadi kamu bisa fokus ke situ.
Bank soal UAS UT di bawah ini nyerempet inti tiap kegiatan belajar, dari relasi ekuivalen sampai induksi matematika. Semua soal dilengkapi kunci jawaban dan pembahasan, bukan sekadar jawaban iya atau tidak. Kalau ada jawabanmu yang meleset, cek dulu pembahasannya sebelum lanjut ke nomor berikutnya.
Soal UT MATA4101 Pengantar Matematika
Himpunan bilangan asli yang kurang dari 5 dinyatakan dengan notasi …
Himpunan bilangan asli dimulai dari 1, sehingga bilangan asli kurang dari 5 adalah 1,2,3,4.
Jika A = {x | x bilangan bulat genap positif}, maka anggota A adalah …
Bilangan bulat genap positif adalah bilangan bulat genap yang bernilai positif, yaitu 2,4,6,8,…
Himpunan kosong dilambangkan dengan …
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan {} atau ∅.
Jika A = {2,4,6} dan B = {2,4,6,8}, maka pernyataan yang benar adalah …
Semua anggota A yaitu 2,4,6 juga merupakan anggota B, sehingga A adalah himpunan bagian dari B (A ⊆ B).
Himpunan kuasa dari himpunan {a,b} adalah …
Himpunan kuasa adalah himpunan semua himpunan bagian, untuk {a,b} yaitu {}, {a}, {b}, {a,b}.
Jika himpunan A memiliki 4 anggota, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A adalah …
Banyaknya anggota himpunan kuasa adalah 2^n dengan n jumlah anggota himpunan, untuk n=4 maka 2^4=16.
Jika A = {1,2,3} dan B = {2,3,4}, maka A ∩ B adalah …
Irisan A dan B adalah anggota yang sama yaitu 2 dan 3.
Jika A = {1,2,3} dan B = {2,3,4}, maka A ∪ B adalah …
Gabungan A dan B adalah semua anggota yang ada di A atau B, yaitu 1,2,3,4.
Jika A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5}, maka A – B adalah …
Selisih A dengan B adalah anggota A yang tidak ada di B, yaitu 1 dan 2.
Jika A = {1,2,3}, B = {2,3,4}, dan C = {3,4,5}, maka (A ∩ B) ∪ C adalah …
A ∩ B = {2,3}, lalu digabung dengan C = {3,4,5} menghasilkan {2,3,4,5}.
Sifat komutatif pada operasi irisan himpunan dinyatakan dengan …
Komutatif berarti urutan himpunan tidak mempengaruhi hasil, sehingga A ∩ B = B ∩ A.
Hukum De Morgan untuk dua himpunan A dan B pada semesta S menyatakan bahwa (A ∪ B)^c = …
Hukum De Morgan menyatakan komplemen dari gabungan adalah irisan dari komplemen masing-masing, yaitu A^c ∩ B^c.
Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan …
Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q dari kata quotient.
Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0 disebut …
Definisi bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk a/b dengan a,b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Himpunan bilangan real merupakan gabungan dari …
Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
Jika x = 3/4, maka x termasuk dalam himpunan …
3/4 dapat dinyatakan sebagai a/b dengan a dan b bilangan bulat, sehingga termasuk bilangan rasional.
Bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk a + bi dengan i = …
Satuan imajiner i didefinisikan sebagai akar(-1), sehingga i^2 = -1.
Himpunan bilangan bulat (Z) merupakan himpunan bilangan yang memiliki sifat operasi tertentu. Di bawah ini yang BUKAN merupakan operasi biner pada himpunan bilangan bulat adalah…
Pembagian tidak selalu menghasilkan bilangan bulat (misal 1/2 = 0.5), sehingga bukan operasi biner pada Z.
Bilangan 1 + i, di mana i = akar(-1), termasuk dalam himpunan…
Bilangan 1 + i memiliki bagian imajiner i, sehingga termasuk bilangan kompleks.
Jika z = 3 + 4i, maka nilai modulus dari z adalah…
Modulus z = akar(3^2 + 4^2) = akar(9 + 16) = akar(25) = 5.
Diberikan bilangan kompleks z1 = 2 + 3i dan z2 = 1 – 2i. Hasil penjumlahan z1 + z2 adalah…
z1 + z2 = (2 + 1) + (3 – 2)i = 3 + i.
Bilangan kompleks 5 – 2i memiliki konjugat yang ditulis sebagai…
Konjugat dari a + bi adalah a – bi. Jadi konjugat 5 – 2i adalah 5 + 2i.
Hasil perkalian (2 + i)(1 – i) adalah…
(2 + i)(1 – i) = 2(1) + 2(-i) + i(1) + i(-i) = 2 – 2i + i – i^2 = 2 – i + 1 = 3 – i.
Bilangan real adalah subset dari bilangan kompleks dengan syarat bagian imajinernya sama dengan…
Bilangan real adalah bilangan kompleks dengan bagian imajiner = 0.
Suatu proposisi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran. Manakah dari berikut ini yang merupakan proposisi?
Proposisi harus bernilai benar atau salah. 'Hari ini cuaca cerah' dapat dinilai benar atau salah.
Dua proposisi p dan q disebut ekuivalen logis jika…
Ekuivalen logis berarti p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama pada setiap interpretasi.
Pernyataan 'Jika p maka q' secara logis ekuivalen dengan…
Implikasi p -> q ekuivalen dengan -p atau q.
Nilai kebenaran dari pernyataan (p dan -p) adalah…
p dan -p adalah kontradiksi, selalu bernilai salah.
Diketahui p benar dan q salah. Nilai kebenaran dari (p atau q) adalah…
p benar, maka p atau q bernilai benar.
Pernyataan 'p dan q' akan bernilai benar jika…
Konjungsi (dan) hanya benar jika kedua proposisi benar.
Dalam penarikan kesimpulan, modus ponens memiliki bentuk: Jika p maka q, dan p benar, maka kesimpulannya adalah…
Modus ponens menyimpulkan q benar dari premis p->q dan p.
Bentuk silogisme dalam penarikan kesimpulan adalah: Jika p maka q, jika q maka r, maka kesimpulannya adalah…
Silogisme menyimpulkan p -> r dari premis p -> q dan q -> r.
Jika diketahui premis: 'Jika hari hujan, maka jalan basah' dan 'Hari tidak hujan', maka kesimpulan yang sah adalah…
Modus tollens memerlukan premis 'jalan tidak basah' untuk menyimpulkan 'hari tidak hujan'. Dari premis yang ada, tidak dapat disimpulkan apa pun.
Dalam penalaran, aturan yang menyatakan bahwa dari premis (p atau q) dan -p dapat disimpulkan q disebut…
Modus tollendo ponens adalah aturan yang menyimpulkan q dari (p atau q) dan -p.
Diketahui premis: Jika hari hujan, maka tanah basah. Hari hujan. Maka kesimpulan yang sah adalah…
Menggunakan modus ponens, jika p maka q dan p benar, maka q benar.
Diketahui premis: Jika Rani belajar, maka ia lulus ujian. Rani tidak lulus ujian. Maka kesimpulan yang sah adalah…
Menggunakan modus tollens, jika p maka q dan tidak q, maka tidak p.
Bilangan real a memenuhi a + 0 = a. Sifat ini menunjukkan bahwa 0 adalah elemen…
Elemen identitas penjumlahan adalah bilangan yang jika ditambahkan dengan bilangan lain menghasilkan bilangan itu sendiri.
Sifat urutan bilangan real menyatakan bahwa jika a < b dan b < c, maka…
Sifat transitif urutan: jika a < b dan b < c, maka a < c.
Dalam bilangan real, hasil dari 2 + (3 + 4) sama dengan (2 + 3) + 4. Ini disebut sifat…
Sifat asosiatif penjumlahan menyatakan bahwa pengelompokan tidak mengubah hasil penjumlahan.
Bilangan real yang merupakan lawan dari 5 adalah…
Lawan dari bilangan a adalah -a, sehingga lawan 5 adalah -5.
Jika a dan b bilangan real dengan a * b = 0, maka dapat disimpulkan bahwa…
Sifat perkalian nol: hasil kali dua bilangan real sama dengan nol jika dan hanya jika salah satu atau keduanya nol.
Sifat Archimedes pada bilangan real menyatakan bahwa untuk setiap bilangan real x, terdapat bilangan bulat n sehingga…
Sifat Archimedes: untuk setiap x real, ada bilangan bulat n yang lebih besar dari x.
Bilangan real a disebut positif jika a > 0. Jika a > 0 dan b > 0, maka…
Jumlah dua bilangan positif selalu positif.
Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pada bilangan real adalah…
Sifat distributif: a*(b+c) = a*b + a*c.
Bilangan real yang memenuhi a * 1 = a untuk semua a disebut…
Elemen identitas perkalian adalah 1, karena a*1 = a.
Jika a bilangan real bukan nol, maka invers perkaliannya adalah…
Invers perkalian a (a != 0) adalah 1/a, karena a*(1/a)=1.
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika untuk setiap a di A, berlaku…
Relasi refleksif: setiap anggota berelasi dengan dirinya sendiri.
Relasi R disebut simetris jika untuk setiap a, b di A, jika a R b maka…
Relasi simetris: jika a berelasi dengan b, maka b juga berelasi dengan a.
Relasi R disebut transitif jika untuk setiap a, b, c di A, jika a R b dan b R c maka…
Relasi transitif: jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.
Relasi ekuivalen adalah relasi yang memenuhi sifat…
Relasi ekuivalen harus refleksif, simetris, dan transitif.
Contoh relasi yang refleksif pada himpunan bilangan real adalah…
Relasi = bersifat refleksif karena a = a untuk setiap bilangan real a.
Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}. Relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan pasangan (1, a), (2, b). Sifat apakah yang dimiliki oleh relasi R?
Relasi R hanya memiliki dua pasangan. Tidak ada pasangan (x,y) dan (y,z) yang menyebabkan sifat transitif terpenuhi secara vaku. Karena tidak ada pelanggaran, maka sifat transitif terpenuhi.
Diberikan himpunan A = {1, 2, 3}. Relasi R pada A didefinisikan sebagai R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2)}. Sifat apakah yang dimiliki relasi R?
Relasi R memiliki (1,1), (2,2), (3,3) sehingga refleksif. Tidak ada pasangan (2,1) sehingga anti simetris terpenuhi.
Jika R adalah relasi pada himpunan bilangan real dengan x R y jika x = y^2. Sifat apakah yang dimiliki relasi R?
Untuk x=4, y=2 maka 4 R 2, tetapi 2 tidak R 4 karena 2 bukan kuadrat dari 4. Juga tidak refleksif karena 2 tidak R 2 (2 tidak sama dengan 2^2). Dan tidak anti simetris karena 4 R 2 dan 2 R 4 tidak terjadi. Jadi tidak ada sifat yang dimiliki.
Relasi R pada himpunan A = {1, 2, 3} didefinisikan sebagai R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}. Relasi R termasuk relasi apa?
Relasi R refleksif, simetris (karena (1,2) dan (2,1) ada), dan transitif (karena tidak ada pasangan yang melanggar). Jadi R adalah relasi ekuivalen.
Dalam relasi ekuivalen, kelas ekuivalen dari suatu elemen a adalah himpunan semua elemen yang berelasi dengan a. Jika R adalah relasi ekuivalen pada himpunan A = {1,2,3,4} dengan kelas ekuivalen [1] = {1,2} dan [3] = {3,4}, berapakah jumlah kelas ekuivalen?
Kelas ekuivalen [1] dan [3] sudah mencakup seluruh elemen A, jadi hanya ada 2 kelas ekuivalen.
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi ekuivalen jika memenuhi tiga sifat, yaitu…
Relasi ekuivalen harus refleksif, simetris, dan transitif.
Diketahui R adalah relasi ekuivalen pada himpunan A. Jika a R b, maka pernyataan yang benar adalah…
Karena R ekuivalen, maka jika a R b, kelas ekuivalen a sama dengan kelas ekuivalen b.
Relasi R pada himpunan A = {1,2,3} didefinisikan sebagai R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)}. Apakah R relasi ekuivalen?
Relasi R refleksif, tetapi tidak simetris karena (1,2) ada tetapi (2,1) tidak ada, dan tidak transitif karena (1,2) dan (2,3) ada tetapi (1,3) tidak ada. Jadi R bukan relasi ekuivalen.
Graf dari relasi R pada himpunan A = {a,b,c} memiliki simpul a,b,c dan sisi berarah dari a ke b, b ke c, dan c ke a. Relasi R bersifat…
Tidak ada sisi dari simpul ke dirinya sendiri sehingga tidak refleksif. Tidak ada sisi dari b ke a sehingga tidak simetris. Dari a ke b dan b ke c ada, tetapi tidak ada sisi dari a ke c sehingga tidak transitif. Jadi tidak ada sifat yang benar.
Diberikan relasi R pada himpunan A = {1,2,3} dengan graf yang memiliki sisi dari 1 ke 2, 2 ke 3, dan 1 ke 3. Sifat apakah yang dimiliki R?
Karena ada sisi dari 1 ke 2 dan 2 ke 3, dan juga ada sisi dari 1 ke 3, maka R bersifat transitif.
Relasi R dari himpunan A ke himpunan B dikatakan fungsi jika…
Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap elemen A dengan tepat satu elemen B.
Diketahui f: A -> B dengan A = {1,2,3} dan B = {a,b,c}. Jika f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, maka f disebut fungsi…
Fungsi f satu-satu karena setiap elemen A memiliki pasangan berbeda di B, dan onto karena semua elemen B terpetakan. Jadi bijektif.
Manakah dari berikut ini yang merupakan fungsi dari himpunan A = {1,2} ke B = {x,y}?
Fungsi harus memasangkan setiap elemen A tepat satu kali. Opsi B memasangkan 1 ke x dan 2 ke x, jadi fungsi.
Jika f: R -> R dengan f(x)=x^2, apakah f merupakan fungsi pada?
Fungsi f(x)=x^2 tidak surjektif karena bilangan real negatif tidak memiliki prapeta (misal -1 tidak ada x sehingga x^2=-1).
Diberikan fungsi f: Z -> Z dengan f(x)=x+1. Sifat apakah yang dimiliki f?
Fungsi f(x)=x+1 adalah satu-satu (jika f(a)=f(b) maka a=b) dan onto (setiap bilangan bulat y memiliki prapeta y-1). Jadi bijektif.
Grafik fungsi f(x)=x^2 merupakan parabola yang terbuka ke atas. Pernyataan yang benar adalah…
Fungsi genap f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x), sehingga grafik simetris terhadap sumbu y.
Diketahui grafik fungsi f(x)=akar(x) untuk x>=0. Daerah hasil fungsi tersebut adalah…
Fungsi akar(x) menghasilkan nilai non-negatif untuk x>=0, sehingga daerah hasil adalah bilangan real non-negatif.
Diketahui fungsi f(x)=x^2+1. Grafik fungsi f(x) adalah kurva yang berbentuk…
Fungsi kuadrat dengan koefisien x^2 positif menghasilkan kurva parabola terbuka ke atas.
Grafik fungsi linear g(x)=2x-3 memotong sumbu y pada titik…
Titik potong sumbu y terjadi saat x=0, sehingga g(0)=-3, jadi titiknya (0,-3).
Fungsi f: A -> B dikatakan fungsi satu-satu jika untuk setiap x1 dan x2 di A, jika f(x1)=f(x2) maka…
Definisi fungsi injektif atau satu-satu adalah jika nilai fungsi sama maka domainnya juga sama.
Diketahui fungsi f: R -> R dengan f(x)=2x+1. Fungsi f termasuk fungsi…
Fungsi linear dengan gradien tak nol bersifat bijektif, yaitu sekaligus satu-satu dan pada.
Fungsi f: Z -> Z dengan f(x)=x^2 merupakan fungsi…
Fungsi kuadrat tidak satu-satu karena f(2)=4 dan f(-2)=4, namun nilai domain berbeda.
Jika fungsi f: R -> R didefinisikan sebagai f(x)=x^3, maka sifat fungsi f adalah…
Fungsi f(x)=x^3 adalah fungsi naik monoton dan kontinu, sehingga bersifat bijektif di R.
Suatu fungsi f dari A ke B dikatakan fungsi pada atau surjektif jika…
Fungsi surjektif adalah fungsi yang setiap elemen kodomain memiliki prapeta di domain.
Diketahui fungsi f(x)=2x dan g(x)=x+1. Nilai (f o g)(x) adalah…
(f o g)(x)=f(g(x))=2(x+1)=2x+2.
Diketahui fungsi f(x)=x^2 dan g(x)=3x. Nilai (g o f)(2) adalah…
(g o f)(x)=g(f(x))=3(x^2). Untuk x=2, hasilnya 3(4)=12.
Fungsi invers dari f(x)=3x-5 adalah…
Misal y=3x-5, maka x=(y+5)/3, sehingga f^(-1)(x)=(x+5)/3.
Diketahui fungsi f(x)=x+2 dan g(x)=4x. Nilai (f o g)^(-1)(x) adalah…
(f o g)(x)=4x+2. Inversnya: misal y=4x+2, maka x=(y-2)/4, jadi f^(-1)(x)=(x-2)/4.
Jika f(x)=akar(x) untuk x>=0 dan g(x)=x^2, maka (g o f)(x)=…
(g o f)(x)=g(akar(x))=(akar(x))^2=x.
Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika…
Himpunan sama jika setiap anggota A adalah anggota B dan sebaliknya.
Himpunan A={1,2,3} dan B={3,2,1} adalah…
Kedua himpunan memiliki anggota yang sama, sehingga merupakan himpunan sama.
Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika…
Ekuivalen berarti ada fungsi bijektif dari A ke B, sehingga kardinalitasnya sama.
Himpunan A={a,b,c} dan B={1,2,3} adalah contoh himpunan…
Kedua himpunan memiliki tiga anggota, sehingga dapat dibuat korespondensi satu-satu, maka ekuivalen.
Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika…
Definisi himpunan ekuivalen adalah adanya korespondensi satu-satu antara anggota kedua himpunan, tidak harus identik.
Himpunan A disebut terbilang jika…
Himpunan terbilang adalah himpunan yang dapat dipasangkan satu-satu dengan himpunan bilangan asli.
Bilangan kardinal dari himpunan kosong adalah…
Bilangan kardinal himpunan kosong adalah 0 karena tidak memiliki anggota.
Jika himpunan A ekuivalen dengan himpunan bilangan asli, maka A disebut…
Himpunan yang ekuivalen dengan bilangan asli disebut himpunan terhitung (countable).
Himpunan bilangan bulat adalah contoh himpunan yang…
Bilangan bulat dapat dipasangkan satu-satu dengan bilangan asli, sehingga termasuk himpunan terhitung.
Jika A adalah himpunan tak terhingga dan B subset dari A, maka…
Subset dari himpunan tak terhingga dapat berupa himpunan berhingga atau tak terhingga.
Metode pembuktian yang menggunakan implikasi kontrapositif adalah…
Pembuktian tidak langsung menggunakan kontrapositif dari pernyataan yang ingin dibuktikan.
Dalam pembuktian kontradiksi, kita mengasumsikan…
Pembuktian kontradiksi dimulai dengan asumsi bahwa kesimpulan salah dan premis benar, lalu menunjukkan kontradiksi.
Jika kita ingin membuktikan pernyataan untuk setiap bilangan bulat n >= 1, metode yang tepat adalah…
Induksi matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif.
Pembuktian langsung dari pernyataan 'jika P maka Q' dilakukan dengan…
Pembuktian langsung dimulai dengan asumsi P benar, lalu melalui langkah logis menunjukkan Q benar.
Langkah dasar dalam induksi matematika membuktikan pernyataan untuk…
Langkah dasar biasanya membuktikan pernyataan untuk bilangan terkecil, yaitu n = 1.
Rekursi dalam matematika didefinisikan sebagai…
Rekursi adalah definisi suatu fungsi atau himpunan yang mengacu pada dirinya sendiri dengan basis tertentu.
Dalam induksi matematika, langkah induksi mengasumsikan pernyataan benar untuk n = k dan membuktikannya untuk…
Langkah induksi membuktikan bahwa jika pernyataan benar untuk n = k, maka benar untuk n = k + 1.
Metode pembuktian yang paling tepat untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi adalah satu-satu adalah…
Pembuktian langsung dengan menunjukkan bahwa jika f(a) = f(b) maka a = b.
Recursive definition dari bilangan faktorial n! adalah…
Faktorial didefinisikan secara rekursif: 0! = 1, dan n! = n*(n-1)! untuk n > 0.
Dalam pembuktian kontrapositif, jika ingin membuktikan 'jika P maka Q', kita buktikan…
Kontrapositif dari 'jika P maka Q' adalah 'jika tidak Q maka tidak P' yang ekuivalen secara logis.
Coba deh periksa lagi jawabanmu untuk soal inferensi logis di Modul 3. Itu biasanya jadi momok kalau belum paham beda modus ponens sama modus tollens. Banyak yang tergoda pakai tabel kebenaran terus, padahal diagram pohon lebih efisien. Satu kesalahan kecil di awal bisa mengacaukan semua langkah berikutnya.
Di MATA4101 Pengantar Matematika, hubungan antara relasi ekuivalen dan klasifikasi modul 5 itu nyambung banget ke konsep himpunan terbilang di modul 8. Soal UAS UT sering merangkai dua konsep dari modul berbeda dalam satu kasus, apalagi yang pakai format UO. Ada banyak soal ujian UT lain untuk topik serupa, cocok buat latihan sebelum UAS hari-H.
