Derivatif di Modul 1 dan Teorema Taylor sering bikin saya mikir ulang waktu pertama belajar analisis. Teorema Taylor itu rumusnya panjang banget, apalagi harus nentuin sisa (remainder)-nya. Konsepnya memang bikin puyeng. Kumpulan soal Universitas Terbuka di halaman ini spesifik untuk MATA4320 Analisis II dan bakal ngebantu kamu ngelatih nalar.
Lanjut ke Modul 2 tentang Integral Reimann, definisi integralnya aja udah beda dengan kalkulus dasar yang biasa. Soal UT Matematika yang kami sediakan fokus ke pemahaman partisi dan jumlah Riemann, bukan sekadar rumus cepat. Bagian definisi ini jadi pintu gerbang penting. Soal ujian UT di bawah bisa kamu coba untuk uji sejauh mana kamu paham konsep supremum dan infimum.
Soal di halaman ini mencakup inti dari tiap KB, terutama yang sering muncul seperti kekonvergenan seragam di Modul 3 dan Teorema Stone-Weierstrass di Modul 9. Setiap soal kami lengkapi dengan kunci jawaban dan pembahasan langkah demi langkah. Jadi kalau jawabanmu beda, langsung bisa cek alur berpikir yang benar.
Soal UT MATA4320 Analisis II
Diketahui fungsi f(x) = x^2. Menggunakan definisi derivatif, nilai f'(3) adalah…
f'(3) = limit h->0 ( (3+h)^2 – 9 )/h = limit h->0 (6h+h^2)/h = limit h->0 (6+h) = 6.
Jika f(x) = sin x, maka derivatif f di x=0 adalah…
f'(0)= limit h->0 (sin h)/h = 1.
Fungsi f dikatakan terdiferensial di titik c jika limit berikut ada dan finite…
Definisi standar derivatif adalah limit (f(x)-f(c))/(x-c) untuk x mendekati c.
Jika f(x)=|x|, maka f tidak terdiferensial di x=0 karena…
Derivatif kiri = -1, kanan = 1, sehingga tidak sama, jadi f tidak terdiferensial di 0.
Jika f dan g terdiferensial di c, maka aturan perkalian memberikan (fg)'(c)=…
Aturan perkalian: (fg)' = f'g + fg'.
Diketahui f(x)=e^x. Nilai f'(1) adalah…
Turunan e^x adalah e^x, jadi f'(1)=e.
Jika f(x)=x^3+2x, maka f'(2) adalah…
f'(x)=3x^2+2, maka f'(2)=3(4)+2=14.
Fungsi konstan f(x)=c memiliki derivatif di setiap titik sebesar…
Turunan fungsi konstan adalah 0.
Teorema Taylor untuk fungsi f di sekitar titik a menyatakan bahwa jika f terdiferensial n kali, maka…
Teorema Taylor memberikan ekspansi f(x) sebagai polinom Taylor orde n ditambah suku sisa.
Suku sisa pada Teorema Taylor bentuk Lagrange untuk fungsi f di sekitar a adalah…
Bentuk Lagrange: R_n(x)=f^{(n+1)}(c)/(n+1)! (x-a)^{n+1} dengan c di antara a dan x.
Polinom Taylor orde 2 untuk f(x)=e^x di sekitar x=0 adalah…
e^x = 1 + x + x^2/2! + …, jadi polinom orde 2 adalah 1+x+x^2/2.
Jika f(x)=cos x, maka polinom Taylor orde 3 di sekitar x=0 adalah…
cos x = 1 – x^2/2! + x^4/4! – …, orde 3 hanya sampai x^2, jadi 1 – x^2/2.
Dengan teorema Taylor, nilai hampiran e^{0.1} menggunakan polinom orde 2 adalah…
e^{0.1} ≈ 1 + 0.1 + (0.1)^2/2 = 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105.
Suku sisa Teorema Taylor untuk fungsi f(x)=sin x orde 1 di sekitar 0 dengan x=0.5 adalah…
f''(x)=-sin x, maka sisa = f''(c)/2! (0.5)^2 = -sin(c)/2 * (0.5)^2.
Jika f terdiferensialkan tak hingga kali di suatu titik, maka deret Taylor mungkin tidak konvergen ke f(x) untuk…
Deret Taylor suatu fungsi mungkin tidak konvergen ke fungsi tersebut untuk semua x, contoh fungsi smooth non-analitik.
Teorema Taylor dengan sisa integral menyatakan bahwa sisa dapat ditulis sebagai…
Bentuk integral: R_n(x) = ∫_a^x f^{(n+1)}(t)/n! * (x-t)^n dt.
Diberikan partisi P pada [a,b], jumlah Riemann untuk fungsi f didefinisikan sebagai…
Jumlah Riemann adalah ∑_{i=1}^n f(t_i) (x_i – x_{i-1}) dengan t_i titik sampel.
Jika f terintegral Riemann pada [a,b] dan c∈(a,b), maka pernyataan yang benar adalah …
Sifat aditif integral Riemann terhadap interval menyatakan bahwa integral pada [a,b] sama dengan jumlah integral pada [a,c] dan [c,b].
Partisi P pada interval [a,b] dikatakan semakin halus jika …
Semakin halus partisi berarti norm partisi yaitu panjang subinterval terbesar semakin kecil mendekati nol.
Diberikan fungsi f(x)=c (konstan) pada [a,b]. Nilai integral Riemann ∫_a^b f(x) dx adalah …
Integral fungsi konstan c pada [a,b] sama dengan c dikali panjang interval b-a.
Jika f terintegral Riemann pada [a,b], maka pernyataan yang tepat mengenai jumlah Riemann adalah …
Jumlah Riemann bergantung pada partisi dan pemilihan titik sampel dalam setiap subinterval.
Fungsi f dikatakan terintegral Riemann pada [a,b] jika …
Integral Riemann ada jika supremum jumlah Riemann bawah sama dengan infimum jumlah Riemann atas.
Jika f(x)=x pada [0,1], maka ∫_0^1 x dx = …
∫_0^1 x dx = [x^2/2]_0^1 = 1/2.
Sifat linearitas integral Riemann menyatakan bahwa ∫_a^b (f+g) = …
Integral dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah integral masing-masing fungsi.
Teorema Fundamental Kalkulus bagian pertama menyatakan bahwa jika F(x)=∫_a^x f(t) dt dan f kontinu, maka …
Teorema Fundamental Kalkulus I mengatakan turunan dari integral atas sama dengan nilai integran di titik x.
Jika f'(x) kontinu pada [a,b], maka ∫_a^b f'(x) dx = …
Teorema Fundamental Kalkulus II menyatakan integral turunan sama dengan selisih nilai fungsi di ujung interval.
Diberikan F(x)=∫_0^x sin(t) dt. Nilai F'(π/2) adalah …
Berdasarkan Teorema Fundamental Kalkulus I, F'(x)=sin x, sehingga F'(π/2)=sin(π/2)=1. Terjadi koreksi: jawaban yang tepat adalah 1, namun opsi A = 1. Catatan: kesalahan penulisan soal seharusnya jawaban A. Karena batasan distribusi, maka tetap A.
Fungsi G(x)=∫_1^x (1/t) dt. Turunan G'(x) adalah …
Teorema Fundamental Kalkulus I memberikan G'(x)=1/x.
Jika f kontinu pada [a,b] dan ∫_a^b f(x) dx = 0, maka …
Jika fungsi kontinu nonnegatif dan integralnya nol maka fungsi tersebut nol di seluruh interval.
Nilai dari ∫_0^1 (2x+1) dx menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus adalah …
∫_0^1 (2x+1) dx = [x^2+x]_0^1 = (1+1)-0=2.
Jika F(x)=∫_x^2 sin(t^2) dt, maka F'(x) = …
Dengan aturan Leibniz, turunan integral dengan batas bawah x adalah -sin(x^2).
Barisan fungsi f_n(x)=x^n pada [0,1] konvergen seragam ke fungsi f jika …
Barisan x^n konvergen titik demi titik ke 0 untuk x<1 dan 1 untuk x=1, tetapi konvergensi tidak seragam karena fungsi limitnya diskontinu.
Kriteria Cauchy untuk kekonvergenan seragam barisan fungsi f_n pada himpunan E menyatakan …
Kriteria Cauchy seragam mensyaratkan beda nilai fungsi antara dua indeks besar kurang dari ε serentak untuk semua x.
Jika barisan fungsi kontinu f_n konvergen seragam ke f pada [a,b], maka …
Limit seragam dari fungsi kontinu adalah fungsi kontinu.
Barisan fungsi {f_n} dikatakan konvergen seragam ke f pada himpunan E jika untuk setiap epsilon > 0 terdapat N sehingga untuk setiap n >= N dan setiap x di E berlaku …
Definisi kekonvergenan seragam mensyaratkan epsilon dipenuhi untuk semua x di E secara simultan, sehingga opsi A tepat.
Jika {f_n} konvergen seragam ke f pada himpunan E, maka pernyataan berikut yang benar adalah …
Kekonvergenan seragam lebih kuat dan selalu mengakibatkan kekonvergenan titik demi titik, tetapi tidak sebaliknya.
Misalkan f_n(x) = x^n pada interval [0,1]. Barisan {f_n} konvergen seragam ke fungsi f pada [0,1]?
Kekonvergenan {x^n} tidak seragam pada [0,1] karena fungsi limitnya diskontinu pada x = 1, dan supremum selisihnya mendekati 1.
Jika barisan fungsi {f_n} konvergen seragam ke f pada himpunan E dan setiap f_n kontinu di titik c dalam E, maka …
Kekonvergenan seragam dari fungsi kontinu menghasilkan fungsi limit yang kontinu.
Jika {f_n} konvergen seragam ke f pada interval tertutup dan terbatas [a,b] dan setiap f_n terintegral Riemann, maka …
Kekonvergenan seragam mempertahankan keterintegralan Riemann dan pertukaran limit dengan integral.
Jika {f_n} konvergen seragam ke f dan setiap f_n terdiferensialkan, maka pernyataan yang benar adalah …
Kekonvergenan seragam fungsi tidak menjamin turunan fungsi limit ada, diperlukan syarat tambahan seperti kekonvergenan seragam turunan.
Misalkan f_n(x) = sin(nx)/n untuk x di R. Barisan {f_n} konvergen seragam ke …
Karena |sin(nx)/n| <= 1/n, maka untuk setiap epsilon > 0, pilih N > 1/epsilon, sehingga konvergen seragam ke 0.
Jika {f_n} konvergen seragam ke f pada himpunan E dan g kontinu pada daerah nilai f, maka …
Komposisi fungsi kontinu dengan barisan yang konvergen seragam menghasilkan kekonvergenan seragam.
Teorema pendekatan Weierstrass menyatakan bahwa setiap fungsi kontinu pada interval tertutup dan terbatas dapat didekati secara seragam oleh …
Teorema Weierstrass menyatakan bahwa fungsi kontinu pada interval tertutup dapat didekati secara seragam oleh polinom.
Dalam teorema Stone-Weierstrass, syarat bahwa aljabar memisahkan titik berarti …
Sifat memisahkan titik (separating points) adalah untuk setiap x ≠ y, ada fungsi f dalam aljabar dengan f(x) ≠ f(y).
Jika {f_n} konvergen seragam ke f pada [a,b] dan f_n kontinu, maka integral dari f_n dari a ke b konvergen ke …
Kekonvergenan seragam memungkinkan pertukaran limit dan integral Riemann pada interval tertutup.
Salah satu syarat cukup agar {f_n} konvergen seragam ke f pada himpunan E adalah …
Kekonvergenan seragam ekuivalen dengan supremum selisih menuju nol.
Jika {f_n} konvergen seragam ke f pada [a,b] dan {f_n} terbatas seragam, maka f bersifat …
Kekonvergenan seragam dari barisan fungsi terbatas seragam menghasilkan fungsi limit yang terbatas.
Untuk barisan fungsi f_n(x) = x^n pada [0,1/2], barisan tersebut konvergen seragam ke …
Pada [0,1/2], supremum |x^n| = (1/2)^n -> 0, sehingga konvergen seragam ke 0.
Teorema pendekatan Weierstrass klasik menggunakan keluarga fungsi …
Salah satu bukti klasik teorema Weierstrass menggunakan polinom Bernstein untuk pendekatan.
Jika {f_n} konvergen seragam ke f dan setiap f_n terdiferensialkan dengan turunan yang konvergen seragam ke g, maka …
Jika f_n konvergen titik demi titik dan f_n' konvergen seragam, maka fungsi limit terdiferensialkan dengan turunan sama dengan limit turunan.
Dalam teorema Stone-Weierstrass, selain memisahkan titik, aljabar harus …
Teorema Stone-Weierstrass membutuhkan aljabar yang memisahkan titik, mengandung fungsi konstan tak nol, dan terdiri dari fungsi kontinu pada ruang kompak.
Jika x = (x1, x2, …, xn) dan y = (y1, y2, …, yn) adalah vektor di Rn, hasil kali titik (dot product) x·y didefinisikan sebagai…
Hasil kali titik di Rn didefinisikan sebagai jumlah perkalian setiap komponen yang bersesuaian yaitu x1y1 + x2y2 + … + xnyn.
Dalam ruang Euclides Rn, jarak antara dua titik x = (x1, x2) dan y = (y1, y2) dinyatakan oleh rumus…
Jarak Euclides adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat selisih setiap komponen, sehingga rumus yang benar adalah d(x,y) = √[(x1 – y1)² + (x2 – y2)²].
Sifat berikut yang merupakan salah satu sifat hasil kali titik di Rn adalah…
Hasil kali titik bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor, yaitu x·(y + z) = x·y + x·z.
Dalam ruang Euclides Rn, norm atau panjang vektor x = (x1, x2, …, xn) didefinisikan sebagai…
Norm Euclides didefinisikan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat setiap komponen vektor, yaitu ||x|| = √(x1² + x2² + … + xn²).
Diberikan dua titik P dan Q di Rn dengan vektor posisi p dan q. Vektor dari P ke Q adalah…
Vektor dari P ke Q diperoleh dengan mengurangkan vektor posisi P dari vektor posisi Q, yaitu q – p.
Bola buka (open ball) di Rn dengan pusat a dan jari-jari r > 0 didefinisikan sebagai himpunan…
Bola buka adalah himpunan titik yang jaraknya ke pusat a kurang dari r, yaitu {x ∈ Rn : ||x – a|| < r}.
Diketahui vektor u = (1, 2, 3) dan v = (4, 5, 6) di R3. Hasil kali titik u·v adalah…
u·v = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32.
Ruang metrik adalah pasangan (X, d) di mana X adalah himpunan tak kosong dan d adalah fungsi dari X × X ke R yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Aksioma berikut yang benar untuk metrik d adalah…
Salah satu aksioma metrik adalah non-negatif, yaitu d(x,y) ≥ 0 dan d(x,y) = 0 jika dan hanya jika x = y.
Suatu fungsi d: X × X → R disebut metrik pada X jika memenuhi empat aksioma. Berikut yang bukan termasuk aksioma metrik adalah…
Ketaksamaan segitiga yang benar adalah d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), bukan d(x,y) + d(z,y) ≥ d(x,z).
Contoh fungsi berikut yang merupakan metrik pada himpunan bilangan real R adalah…
Fungsi d(x,y) = |x – y| memenuhi semua aksioma metrik: non-negatif, simetris, dan ketaksamaan segitiga.
Dalam ruang metrik diskrit (X, d) dengan d(x,y) = 0 jika x = y dan d(x,y) = 1 jika x ≠ y, bola buka dengan jari-jari 0.5 di sekitar titik a adalah…
Bola buka B(a, 0.5) = {x ∈ X : d(x,a) < 0.5}. Karena satu-satunya titik yang jaraknya kurang dari 0.5 ke a adalah a sendiri, maka B(a, 0.5) = {a}.
Diberikan ruang metrik (X, d). Bola tutup (closed ball) dengan pusat a dan jari-jari r > 0 didefinisikan sebagai…
Bola tutup adalah himpunan titik yang jaraknya ke pusat a kurang dari atau sama dengan r, yaitu {x ∈ X : d(x,a) ≤ r}.
Jika d adalah metrik pada X, maka fungsi ρ(x,y) = min{1, d(x,y)} juga merupakan metrik pada X. Pernyataan yang benar adalah…
Fungsi ρ(x,y) = min{1, d(x,y)} dikenal sebagai metrik terbatas standar dan memenuhi semua aksioma metrik.
Dalam ruang metrik, diamater suatu himpunan tak kosong A didefinisikan sebagai…
Diameter himpunan A adalah supremum jarak antara setiap pasang titik di A, yaitu sup{d(x,y) : x,y ∈ A}.
Dalam konteks topologi ruang metrik, pengertian titik interior dari himpunan S adalah…
Titik interior adalah titik yang memiliki lingkungan (bola buka) yang seluruhnya termuat dalam himpunan S.
Himpunan G dalam ruang metrik X disebut himpunan buka (open set) jika untuk setiap x ∈ G terdapat r > 0 sehingga…
Himpunan buka didefinisikan sebagai himpunan yang setiap titiknya memiliki bola buka yang termuat di dalam himpunan tersebut.
Jika A dan B adalah himpunan buka dalam ruang metrik X, maka pernyataan yang benar adalah…
Irisan berhingga dari himpunan-himpunan buka adalah buka, sehingga A ∩ B merupakan himpunan buka.
Dalam ruang metrik (X,d), suatu himpunan A disebut terbuka jika untuk setiap x∈A terdapat r>0 sehingga…
Definisi himpunan terbuka: untuk setiap titik x di A ada bola buka B(x,r) yang termuat sepenuhnya di A.
Misalkan X adalah ruang metrik. Himpunan A⊆X disebut tertutup jika…
Salah satu definisi ekuivalen himpunan tertutup adalah himpunan yang memuat semua titik limitnya.
Dalam ruang metrik (R,d) dengan metrik Euclidean, bola buka B(0,1) adalah…
Bola buka berpusat 0 dengan jari-jari 1 adalah semua bilangan real yang jaraknya ke 0 kurang dari 1.
Jika A adalah himpunan terbuka dalam ruang metrik X, maka komplemen A yaitu XA bersifat…
Sifat dasar: komplemen dari himpunan terbuka adalah himpunan tertutup.
Suatu himpunan K dalam ruang metrik dikatakan kompak jika…
Definisi kekompakan (cover kompak): setiap selimut terbuka dari K mempunyai subselimut berhingga.
Dalam ruang metrik, jika K kompak dan F adalah himpunan tertutup dengan F⊆K, maka…
Subhimpunan tertutup dari himpunan kompak adalah kompak.
Dalam ruang metrik (R^n,d) dengan metrik Euclidean, himpunan kompak ekuivalen dengan…
Teorema Heine-Borel: di R^n, himpunan kompak jika dan hanya jika ia tertutup dan terbatas.
Misalkan K adalah himpunan kompak dalam ruang metrik. Sifat berikut yang benar adalah…
Kekompakan barisan: setiap barisan di K memiliki subbarisan konvergen ke titik di K.
Jika K kompak dan f:K→R kontinu, maka f(K) adalah…
Peta dari himpunan kompak oleh fungsi kontinu adalah kompak.
Dalam ruang metrik, gabungan berhingga dari himpunan kompak adalah…
Gabungan berhingga himpunan kompak adalah kompak.
Irisan sembarang (sebarang koleksi) dari himpunan kompak dalam ruang metrik adalah…
Irisan sembarang himpunan kompak adalah tertutup dan termuat dalam yang kompak, sehingga kompak.
Misalkan X dan Y ruang metrik. Fungsi f:X→Y dikatakan kontinu di titik x0∈X jika…
Definisi epsilon-delta kekontinuan fungsi antara dua ruang metrik.
Jika f:X→Y kontinu dan K⊆X kompak, maka f(K) adalah…
Sifat: fungsi kontinu memetakan himpunan kompak ke himpunan kompak.
Misalkan X ruang metrik dan f:X→R kontinu. Jika K⊆X kompak, maka f mencapai nilai maksimum dan minimum pada K. Sifat ini disebut…
Teorema Nilai Ekstrem: fungsi kontinu pada himpunan kompak mencapai nilai maksimum dan minimum.
Dalam ruang metrik, suatu fungsi f:X→Y dikatakan kontinu jika dan hanya jika…
Karakterisasi: fungsi kontinu jika dan hanya jika prapeta himpunan terbuka adalah terbuka.
Misalkan X dan Y ruang metrik, f:X→Y kontinu. Jika X kompak, maka f(X) adalah…
Karena X kompak, peta kontinu f(X) juga kompak di Y.
Diberikan fungsi f: X → Y dengan X dan Y ruang metrik. Agar f kontinu di titik x₀ ∈ X, syarat yang ekuivalen adalah untuk setiap barisan (x_n) di X dengan x_n → x₀, berlaku…
Kontinuitas di titik dalam ruang metrik ekuivalen dengan kekonvergenan barisan: jika x_n → x₀ maka f(x_n) → f(x₀).
Misalkan f: X → Y fungsi kontinu, dengan X ruang metrik kompak. Manakah pernyataan yang benar?
Fungsi kontinu pada himpunan kompak mencapai nilai maksimum dan minimum sesuai sifat kekompakan.
Ruang C(X) adalah himpunan semua fungsi real kontinu terbatas pada X, dengan norma suprem. Manakah yang merupakan definisi norma suprem pada C(X)?
Norma suprem didefinisikan sebagai supremum nilai mutlak fungsi pada domain X.
Jika X adalah ruang metrik kompak, maka C(X) terhadap norma suprem bersifat…
C(X) dengan norma suprem merupakan ruang Banach karena lengkap terhadap metrik yang diinduksi.
Diberikan barisan fungsi (f_n) di C(X) dengan X kompak. Jika (f_n) konvergen seragam ke f, maka f termasuk dalam…
Limit seragam fungsi kontinu pada himpunan kompak juga kontinu, sehingga f ∈ C(X).
Dalam ruang C(K) dengan K kompak, metrik yang sesuai berasal dari norma suprem. Jarak antara dua fungsi f dan g adalah…
Metrik pada C(K) didefinisikan sebagai supremum selisih mutlak dua fungsi di seluruh domain.
Misalkan X ruang metrik tidak kompak. Himpunan fungsi kontinu terbatas pada X, yaitu C(X), tetap dapat didefinisikan dengan norma suprem. Sifat yang benar adalah…
C(X) dengan norma suprem selalu lengkap tanpa syarat kekompakan X.
Dalam ruang C(K) dengan K kompak, fungsi f ∈ C(K) dikatakan mencapai norma jika terdapat x₀ ∈ K sehingga…
Pada himpunan kompak, fungsi kontinu mencapai supremumnya di suatu titik.
Teorema Stone-Weierstrass menyatakan bahwa aljabar fungsi pada himpunan kompak K yang memisahkan titik, memuat fungsi konstan, dan tertutup terhadap konjugasi kompleks, adalah…
Untuk kasus real, teorema Stone-Weierstrass menjamin bahwa aljabar tersebut sama dengan C(K).
Misalkan A adalah aljabar fungsi kontinu pada [0,1] yang memuat polinomial. Menurut Stone-Weierstrass, closure A terhadap norma suprem adalah…
Polinomial membentuk aljabar yang memisahkan titik dan memuat fungsi konstan, sehingga closure-nya adalah C([0,1]).
Agar teorema Stone-Weierstrass berlaku untuk aljabar A pada K kompak, syarat penting adalah A memisahkan titik, artinya…
Syarat memisahkan titik berarti untuk setiap pasangan titik berbeda, terdapat fungsi dalam A yang nilainya berbeda.
Dalam teorema Stone-Weierstrass, salah satu syarat adalah A memuat fungsi konstan. Fungsi konstan yang dimaksud adalah…
Syarat memuat fungsi konstan berarti semua fungsi konstan termasuk dalam aljabar A.
Perumuman Stone-Weierstrass untuk ruang Hausdorff kompak menyatakan bahwa subaljabar C(K) yang memisahkan titik dan tertutup terhadap konjugasi kompleks, serta memuat fungsi konstan, maka…
Dalam versi umum, subaljabar yang memenuhi syarat padat di C(K) terhadap norma suprem.
Jika K adalah himpunan kompak dan A adalah aljabar fungsi real pada K yang memisahkan titik serta memuat fungsi konstan, maka A padat di C(K) menurut…
Teorema Stone-Weierstrass menjamin kepadatan aljabar yang memisahkan titik dan memuat fungsi konstan.
Dalam konteks Stone-Weierstrass, istilah 'aljabar' berarti himpunan fungsi yang tertutup terhadap operasi…
Aljabar fungsi harus tertutup terhadap penjumlahan, perkalian, dan perkalian dengan skalar.
Teorema Stone-Weierstrass merupakan perumuman dari teorema pendekatan Weierstrass klasik. Manakah pernyataan yang benar?
Stone-Weierstrass memperumum pendekatan Weierstrass dengan syarat aljabar yang memisahkan titik pada himpunan kompak.
Biasanya soal barisan fungsi yang jadi momok di UAS, padahal kalau sudah paham konsep konvergen seragam di modul 3 dan 4 sisanya tinggal latihan. Teorema Pendekatan Weierstrass sering muncul dalam variasi soal yang butuh penalaran ekstra. Itu poin yang paling sering membedakan nilai. Coba kerjakan ulang soal terkait sambil cek jawabanmu dengan pembahasan, lalu lanjut ke topik ruang metrik yang polanya tidak jauh berbeda.
Di MATA4320 Analisis II, bagian integral Riemann dan fungsi kontinu sering diujikan dalam format UO yang butuh pemahaman lebih dalam. Dua modul terakhir tentang topologi dan ruang fungsi kontinu biasanya jadi penentu kelulusan karena membutuhkan koneksi antar konsep. Kalau kamu masih meraba-raba di bagian teorema Stone-Weierstrass, jangan khawatir, banyak juga yang mengalaminya. Ada banyak latihan UAS UT lain di sini buat kamu yang mau tambah jam terbang.
