Pernah merasa kesulitan memahami aplikasi divergensi dan curl dalam PEMA4419 Analisis Vektor? Latihan intensif menjadi kunci sukses menghadapi ujian. Anda dapat menemukan kumpulan Soal UT sebagai bahan belajar mandiri yang efektif.
Bagaimana cara menaklukkan soal kalkulus vektor yang kompleks? Dengan berlatih mengerjakan Soal UAS UT secara rutin, Anda terbiasa dengan pola soal. Kunjungi soalut.com untuk referensi materi dan pembahasan yang lengkap.
Sudahkah Anda mencoba simulasi waktu saat mengerjakan latihan? Soal Ujian UT biasanya menuntut pemahaman konsep integral garis dan permukaan. Manfaatkan sumber daya daring untuk memperdalam pemahaman Anda.
Soal UT PEMA4419 Analisis Vektor
Diketahui vektor a = (2, -1, 3) dan b = (-4, 2, -6). Manakah pernyataan yang benar?
Karena -1/2 * b = -1/2 * (-4, 2, -6) = (2, -1, 3) = a.
Persamaan vektor garis lurus yang melalui titik A(2,3) dan B(5,7) adalah…
Vektor arah AB = (5-2, 7-3) = (3,4). Persamaan garis melalui A: r = (2,3) + t(3,4).
Vektor posisi titik P dalam koordinat Cartesius adalah (3, -4, 0). Besar vektor tersebut adalah…
|r| = sqrt(3^2 + (-4)^2 + 0^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5.
Fungsi vektor r(t) = (cos t, sin t, t) untuk t dari 0 sampai 2π menggambarkan…
r(t) = (cos t, sin t, t) adalah parametrisasi heliks berjalan naik seiring t.
Jika a = (2, 1, -3) dan b = (1, 0, 2), hasil kali skalar a · b adalah…
a·b = 2*1 + 1*0 + (-3)*2 = 2 + 0 – 6 = -4.
Diketahui a = (1, 2, 3) dan b = (4, 5, 6). Hasil kali vektor a × b adalah…
a×b = (2*6-3*5, 3*4-1*6, 1*5-2*4) = (12-15, 12-6, 5-8) = (-3, 6, -3).
Hasil kali tripel skalar dari vektor a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), c = (0, 0, 1) adalah…
[a,b,c] = a·(b×c) = (1,0,0)·(1*1-0*0, 0*0-0*1, 0*0-1*0) = (1,0,0)·(1,0,0) = 1.
Jika r(t) = (t^2, 3t, t^3), maka turunan fungsi vektor r'(t) adalah…
Turunan setiap komponen: d/dt (t^2)=2t, d/dt (3t)=3, d/dt (t^3)=3t^2.
Sebuah partikel bergerak dengan posisi r(t) = (2 cos t, 2 sin t, 0). Kecepatan partikel pada t=π/2 adalah…
v(t)=r'(t)=(-2 sin t, 2 cos t, 0). Pada t=π/2: v=(-2*1, 2*0, 0)=(-2,0,0).
Jika f(x,y,z)=x^2 + y^2 – z, gradien dari f pada titik (1,1,2) adalah…
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) = (2x, 2y, -1). Pada (1,1,2): (2,2,-1).
Diketahui medan vektor F = (x, y, z). Divergensi dari F adalah…
div F = ∂(x)/∂x + ∂(y)/∂y + ∂(z)/∂z = 1+1+1 = 3.
Hitung integral garis ∫_C F·dr dengan F = (y, x) sepanjang kurva C dari (0,0) ke (1,1) pada parabola y=x^2.
Parametrisasi: r(t)=(t,t^2), 0≤t≤1, dr=(1,2t)dt, F=(t^2,t). Integral:∫(t^2*1 + t*2t)dt=∫(t^2+2t^2)dt=∫3t^2 dt=t^3|0^1=1.
Teorema Green menyatakan bahwa ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_R (Q_x – P_y) dA. Jika P= -y dan Q=x, maka hasil integral garis mengelilingi lingkaran x^2+y^2=1 adalah…
Q_x – P_y = 1 – (-1) = 2. Luas lingkaran = π, hasil = 2π.
Permukaan S adalah bagian dari paraboloid z = x^2 + y^2 di bawah bidang z=1. Vektor normal permukaan tersebut adalah…
Untuk permukaan z=f(x,y), vektor normal ke atas adalah (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1) = (-2x, -2y, 1).
Volume benda yang dibatasi oleh silinder x^2+z^2=1 dan bidang y=0, y=1 adalah…
Luas penampang lingkaran x^2+z^2=1 adalah π, integral y dari 0 sampai 1 menghasilkan volume π.
Dalam koordinat tabung, elemen volume dV adalah…
Faktor Jacobian untuk koordinat tabung adalah r, sehingga dV = r dr dθ dz.
Teorema Divergensi Gauss untuk medan vektor F = (x, y, z) pada kubus 0≤x,y,z≤1 menghasilkan nilai…
div F = 3. Integral volume dari 0 hingga 1 pada x,y,z = ∫∫∫ 3 dx dy dz = 3.
Vektor posisi dari titik A(3, -2, 1) adalah…
Vektor posisi dari titik (x, y, z) adalah xi + yj + zk, sehingga (3, -2, 1) menjadi 3i – 2j + k.
Persamaan vektor suatu garis yang melalui titik A(1,2) dan B(4,6) dalam R2 adalah…
Vektor arah AB = B – A = (3,4). Persamaan garis: r = A + t(AB) = (1,2) + t(3,4).
Vektor dalam koordinat Cartesius dinyatakan sebagai A = 2i + 3j – k. Panjang vektor A adalah…
Panjang vektor = √(2² + 3² + (-1)²) = √(4 + 9 + 1) = √14.
Fungsi vektor r(t) = (t²)i + (2t)j. Nilai r(2) adalah…
Substitusi t=2: (2²)i + (2·2)j = 4i + 4j.
Hasil kali skalar (dot product) antara vektor A = i + 2j dan B = 3i – j adalah…
A·B = (1)(3) + (2)(-1) = 3 – 2 = 1.
Hasil kali vektor (cross product) antara A = i dan B = j adalah…
i × j = k, sesuai aturan tangan kanan.
Hasil kali tripel skalar (scalar triple product) dari A = i, B = j, C = k adalah…
A·(B×C) = i·(j×k) = i·i = 1.
Turunan dari fungsi vektor r(t) = t²i + t³j adalah…
Turunan dr/dt = (d/dt t²)i + (d/dt t³)j = 2ti + 3t²j.
Jika posisi partikel r(t) = 3t i + 4t j, maka kecepatan partikel adalah…
Kecepatan v = dr/dt = 3i + 4j.
Gradien dari fungsi skalar f(x,y,z) = x² + y² + z² adalah…
∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k = 2xi + 2yj + 2zk.
Divergensi dari medan vektor F = xi + yj + zk adalah…
∇·F = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 1 + 1 + 1 = 3.
Integral garis ∫C (x dy + y dx) dengan C dari (0,0) ke (1,1) sepanjang y=x adalah…
Parameterisasi: x=t, y=t, dx=dt, dy=dt, integral ∫₀¹ (t dt + t dt) = ∫₀¹ 2t dt = [t²]₀¹ = 1.
Teorema Green mengubah integral garis menjadi integral ganda pada daerah…
Teorema Green menghubungkan integral garis pada kurva tertutup dengan integral ganda pada daerah bidang yang dibatasi.
Integral permukaan ∫∫S z dS dengan S adalah permukaan z=1 pada 0≤x≤1, 0≤y≤1 adalah…
z=1, dS = dxdy, integral = ∫₀¹∫₀¹ 1 dxdy = 1.
Integral volume dari fungsi f(x,y,z)=1 pada kubus 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 adalah…
∫₀¹∫₀¹∫₀¹ 1 dxdydz = 1.
Dalam koordinat tabung, elemen volume dV adalah…
Dalam koordinat tabung, dV = r dr dθ dz.
Teorema Divergensi Gauss menyatakan bahwa ∫∫S F·n dS sama dengan…
Teorema Divergensi Gauss: ∫∫S F·n dS = ∫∫∫V ∇·F dV.
Diberikan dua vektor a = (2, -1) dan b = (1, 3). Hasil dari a – 2b adalah…
a – 2b = (2, -1) – 2(1, 3) = (2-2, -1-6) = (0, -7).
Vektor posisi titik A dan B adalah a = (2, -1) dan b = (3, 2). Vektor AB dalam bentuk vektor posisi adalah…
Vektor AB = vektor posisi B dikurangi vektor posisi A, yaitu AB = b – a.
Vektor u dalam koordinat Cartesius adalah u = 3i – 2j + k. Besarnya vektor u adalah…
|u| = √(3² + (-2)² + 1²) = √(9+4+1) = √14.
Fungsi vektor r(t) = (t², 2t, t³). Vektor pada saat t = 1 adalah…
Substitusi t=1: r(1) = (1², 2·1, 1³) = (1, 2, 1).
Diketahui a = (1, 2, 0) dan b = (3, -1, 4). Hasil kali skalar a · b adalah…
a · b = 1·3 + 2·(-1) + 0·4 = 3 – 2 + 0 = 1.
Diketahui a = (1, 2, 0) dan b = (3, -1, 4). Hasil kali vektor a × b adalah…
a × b = (2·4 – 0·(-1), 0·3 – 1·4, 1·(-1) – 2·3) = (8, -4, -7).
Hasil kali tripel skalar (a × b)·c untuk a = (1,0,0), b = (0,1,0), dan c = (0,0,1) adalah…
(a × b) = (0,0,1); (0,0,1) · (0,0,1) = 1, yang merupakan volume paralelepipedum.
Turunan fungsi vektor r(t) = (t³, e^t, sin(t)) terhadap t adalah…
Turunan t³ = 3t², e^t = e^t, sin(t) = cos(t).
Suatu partikel bergerak dengan vektor posisi r(t) = (t², 2t). Kecepatan partikel pada t=2 adalah…
v(t) = (2t, 2); v(2) = (4, 2).
Medan skalar f(x,y,z) = x²y + z. Gradien ∇f di titik (1,1,1) adalah…
∇f = (2xy, x², 1); di (1,1,1) = (2, 1, 1).
Medan vektor F = (x, y, z). Divergensi ∇·F adalah…
∇·F = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 1+1+1 = 3.
Hitung integral garis ∫_C (x dy – y dx) dengan C adalah kurva dari (0,0) ke (1,1) sepanjang y=x.
Pada y=x, dy=dx, integran = x dx – x dx = 0, integral = 0.
Teorema Green mengubah integral garis menjadi integral lipat di…
Teorema Green menghubungkan integral garis di kurva tertutup dengan integral lipat dua di daerah yang dibatasinya.
Parameter permukaan: r(u,v) = (u, v, u²+v²). Vektor normal permukaan pada titik (0,0,0) adalah…
r_u=(1,0,2u), r_v=(0,1,2v). Di (0,0,0): u=0, v=0; r_u=(1,0,0), r_v=(0,1,0); cross product = (0,0,1). Yang diminta biasanya normal satuan, (0,0,1).
Integral volume dari fungsi f(x,y,z)=1 pada daerah kubus 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 adalah…
∫ dari 0 sampai 1 masing-masing variabel = 1*1*1 = 1.
Teorema Divergensi Gauss menghubungkan integral permukaan dengan integral…
Teorema Divergensi Gauss mengubah integral permukaan dari medan vektor menjadi integral volume divergensinya.
Pahami kembali konsep dasar sebelum menghadapi format Ujian UT yang terdiri dari UTM dan UO. Semakin sering berlatih, Anda akan semakin percaya diri mengerjakan berbagai tipe Soal Ujian UT.
Pastikan Anda menguasai materi PEMA4419 Analisis Vektor secara menyeluruh. Jangan lupa untuk mengulang latihan dari Soal UT yang telah disediakan agar hasil UAS Anda maksimal.
