Gimana caranya ngerjain integral ganda tiga kalau batasnya berbentuk bola yang aneh-aneh? Pertanyaan itu pasti muncul pas kamu buka Modul 08 tentang Integral Ganda Tiga di PEMA4522 Kalkulus Lanjut. Apalagi kalau sudah masuk substitusi koordinat bola atau silinder. Rasanya seperti belajar lagi dari nol.
Di Modul 04 tentang Turunan Fungsi Dua Peubah atau Lebih, kamu ketemu turunan berarah yang arah vektornya bisa bikin pusing. Sementara Modul 06 tentang Integral Ganda Dua menuntut kamu paham betul cara membaca daerah integrasi di bidang xy. Dua topik ini saling berkaitan erat.
Soal UAS UT di halaman ini langsung menyentuh inti tiap modul, dari lengkungan di R³ di Modul 01 sampai penerapan integral ganda tiga di Modul 09. Kamu bisa langsung mengerjakan soal-soal yang dibagi per kegiatan belajar. Setiap nomor dilengkapi kunci jawaban dan pembahasan yang memperlihatkan langkah per langkah, terutama untuk soal substitusi integral yang rumit. Kalau ada jawaban yang meleset, kamu bisa langsung lihat di mana letak kesalahan konsepnya.
Soal UT PEMA4522 Kalkulus Lanjut
Fungsi bernilai vektor pada dasarnya memetakan domain bilangan real ke sebuah vektor. Apa makna geometris dari pemetaan tersebut…
Fungsi bernilai vektor r(t) menghasilkan vektor posisi untuk setiap t, dan ujung-ujung vektor tersebut melacak kurva di ruang dimensi dua atau tiga, itulah makna geometris utamanya.
Sebuah partikel bergerak dengan posisi r(t) = (e^t cos t, e^t sin t). Manakah di antara pernyataan berikut yang tepat mengenai r'(t)…
Vektor posisi dan turunannya tidak pernah sejajar pada spiral logaritmik ini, karena setiap komponen vektor posisi memiliki faktor e^t, sedangkan turunannya menghasilkan kombinasi fungsi trigonometri yang membuat arahnya berbeda.
Budi menghitung vektor singgung dari kurva r(t) = (t^3, t^2) dan mendapati r'(t) = (3t^2, 2t). Untuk mengetahui arah garis singgung di suatu titik, ia perlu memastikan bahwa…
Vektor singgung memberikan arah garis singgung hanya jika r'(t) bukan vektor nol, karena vektor nol tidak mendefinisikan arah apapun.
Panjang busur kurva dihitung dengan integral norma vektor singgung. Apa yang membedakan rumus panjang busur untuk kurva parametrik dengan kurva eksplisit y = f(x)…
Kurva parametrik menggunakan besaran ||r'(t)|| dt yang merepresentasikan elemen panjang busur dalam parameter t, sedangkan pada fungsi eksplisit y = f(x), parameter x digunakan dan elemen panjang busurnya menjadi sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx.
Seorang insinyur menghitung panjang busur kurva helix r(t) = (cos t, sin t, t) dari t = 0 hingga t = 2π. Jika hasil perhitungannya adalah 2π√2, integral manakah yang ia evaluasi dengan benar…
Panjang busur dihitung dari integral norma vektor singgung, yaitu ||r'(t)|| dengan r'(t) = (-sin t, cos t, 1). Normanya sqrt(sin^2 t + cos^2 t + 1) = sqrt(2). Integral sqrt(2) dt dari 0 ke 2π menghasilkan 2π√2.
Limit fungsi vektor didefinisikan melalui limit setiap komponen penyusunnya. Jika diberikan r(t) = (sin t / t, (e^t – 1)/t), limit r(t) saat t → 0 adalah…
Limit sin t / t untuk t → 0 adalah 1, sedangkan limit (e^t – 1)/t untuk t → 0 juga 1. Kedua komponen memiliki limit sehingga limit fungsi vektornya adalah (1, 1).
Fungsi vektor r(t) = ((t^2-1)/(t-1), t+2) memiliki ketidakkontinuan di t = 1. Mengapa diskontinuitas ini dapat dihilangkan…
Untuk t ≠ 1, (t^2 – 1)/(t – 1) = t + 1 sehingga limitnya saat t → 1 adalah 2, meskipun r(1) asalnya tidak terdefinisi. Diskontinuitas dapat dihilangkan dengan mendefinisikan ulang r(1) = (2, 3).
Perbedaan utama antara kekontinuan dan keterdiferensialan pada fungsi vektor adalah…
Keterdiferensialan fungsi vektor memerlukan adanya limit dari [r(t+h) – r(t)]/h saat h → 0, yang lebih kuat daripada syarat kekontinuan yang hanya memerlukan limit r(t) = r(a) saat t → a.
Fungsi vektor r(t) = (t, |t|) tidak terdiferensialkan di titik asal. Apa penyebab kegagalan diferensiasi tersebut…
Fungsi nilai mutlak |t| tidak memiliki turunan di t = 0 karena limit kiri dan kanan dari selisih hasil bagi berbeda. Meskipun r(t) kontinu di t = 0, turunannya tidak ada.
Jika r(t) menyatakan posisi partikel, maka vektor percepatan adalah turunan kedua dari r(t). Apa yang terjadi jika vektor percepatan suatu partikel konstan sepanjang selang waktu…
Percepatan konstan berarti turunan kedua konstan, sehingga turunan pertama (kecepatan) linear terhadap waktu. Hal ini menghasilkan lintasan parabola jika kecepatan awal tidak searah dengan percepatan.
Aturan turunan untuk hasil kali silang dua fungsi vektor adalah d/dt(u × v) = u' × v + u × v'. Mengapa urutan perkalian silang pada setiap suku harus dipertahankan…
Perkalian silang bersifat anti-komutatif, yaitu u × v = – (v × u). Aturan turunan memerlukan urutan yang konsisten dengan aturan Leibniz agar tanda dan arah vektor hasil tetap benar.
Sebuah kendaraan otonom bergerak sepanjang lintasan r(t) = (2 cos t, 2 sin t). Posisi, kecepatan, dan percepatan kendaraan tersebut terhubung melalui turunan. Hubungan manakah yang tepat antara besaran-besaran ini…
Untuk lintasan lingkaran, r(t) = (2 cos t, 2 sin t), diperoleh r'(t) = (-2 sin t, 2 cos t) yang ortogonal terhadap r(t), serta r''(t) = (-2 cos t, -2 sin t) = -r(t) yang selalu mengarah ke pusat lingkaran, berlawanan arah dengan vektor posisi.
Kelengkungan suatu kurva geometri merupakan ukuran yang penting dalam analisis lintasan. Manakah di antara pernyataan ini yang secara tepat menggambarkan perbedaan antara kelengkungan dan torsi pada kurva ruang…
Kelengkungan κ = ||dT/ds|| mengukur laju perubahan arah vektor singgung satuan T terhadap panjang busur, sedangkan torsi τ mengukur laju perubahan vektor binormal yang terkait dengan bagaimana kurva memutar keluar dari bidang oskulasi.
Saat menghitung komponen percepatan pada gerak lengkung di R³, dikenal komponen tangensial dan komponen normal. Sebuah partikel yang bergerak dengan kelajuan konstan memiliki karakteristik…
Komponen tangensial a_T = dv/dt adalah nol jika kelajuan v konstan, namun komponen normal a_N = v^2 κ tetap bisa tidak nol selama kelengkungan κ ≠ 0, sehingga partikel tetap mengalami percepatan ke arah pusat kelengkungan.
Siti memodelkan lintasan robot industri dengan r(t) = (t^2, t^3, t) dan ingin menentukan persamaan garis singgung di t = 2. Manakah persamaan vektor yang tepat…
Di t = 2, r(2) = (4, 8, 2). Turunannya r'(t) = (2t, 3t^2, 1) sehingga r'(2) = (4, 12, 1) menjadi vektor arah garis singgung. Persamaan garis singgung adalah l(s) = (4, 8, 2) + s(4, 12, 1).
Fungsi dua peubah f(x,y) = (x^2 y)/(x^2 + y^2), untuk (x,y) ≠ (0,0) dan f(0,0) = 0, sering digunakan untuk menguji konsep limit. Mengapa limit di titik asal tidak ada meskipun sepanjang setiap garis lurus yang melalui asal nilainya nol…
Meskipun sepanjang garis lurus y = mx limitnya 0, namun sepanjang lintasan y = x^2, limitnya adalah 1/2. Adanya dua lintasan dengan nilai limit berbeda membuktikan bahwa limit fungsi dua peubah di (0,0) tidak ada.
Kekontinuan fungsi multivariabel berbeda dengan kekontinuan fungsi satu peubah dalam hal…
Pada fungsi satu peubah, limit diperiksa dari kiri dan kanan. Pada fungsi multivariabel, limit harus ada dan bernilai sama untuk setiap kemungkinan lintasan menuju titik yang ditinjau, yang merupakan syarat yang lebih ketat.
Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva yang didefinisikan oleh r(t) = (t^2, t^3, t). Seorang insinyur ingin menentukan garis yang menyinggung kurva tersebut tepat di titik yang berpadanan dengan t₀ = 1. Manakah persamaan vektor untuk garis singgung yang tepat…
Posisi pada t=1 adalah r(1)=(1,1,1) dan vektor singgung r'(t)=(2t,3t²,1) pada t=1 menghasilkan (2,3,1), sehingga persamaan garis singgungnya l(t)=(1,1,1)+t(2,3,1).
Kelengkungan suatu kurva parametrik dihitung menggunakan turunan terhadap parameter t. Jika sebuah kurva memiliki kelengkungan yang sangat besar di suatu titik, interpretasi geometris yang paling tepat adalah…
Kelengkungan κ mengukur laju perubahan arah vektor singgung satuan terhadap panjang busur. Nilai κ yang besar menandakan arah kurva berubah tajam dalam rentang busur yang pendek.
Sebuah kendaraan uji bergerak dengan vektor percepatan a(t) = (0, -10, 0) pada suatu selang waktu. Jika diamati, komponen tangensial percepatannya bernilai nol sepanjang selang tersebut. Apa yang dapat disimpulkan tentang gerak kendaraan itu…
Komponen tangensial percepatan memengaruhi kelajuan. Jika komponen tangensial nol, kelajuan tetap; percepatan total yang tidak nol hanya berasal dari komponen normal yang membelokkan arah.
Kurva di R³ dinyatakan oleh fungsi vektor r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Seorang mahasiswa mengamati bahwa ketiga fungsi komponen memiliki turunan yang kontinu dan tidak pernah nol serentak. Manakah pernyataan yang tepat tentang kurva tersebut…
Kurva mulus mensyaratkan r'(t) ada, kontinu, dan r'(t)≠0. Ketiga komponen yang memiliki turunan kontinu dan tidak nol serentak menjamin vektor singgung terdefinisi di semua titik.
Vektor singgung satuan T(t) diperoleh dengan menormalkan vektor singgung r'(t). Pada suatu titik di kurva ruang, vektor T(t) memberikan informasi tentang…
Vektor singgung satuan adalah vektor r'(t) yang dinormalkan sehingga panjangnya satu; ia hanya menunjukkan arah gerak sesaat, sedangkan kelajuan merupakan panjang r'(t) sebelum normalisasi.
Bidang oskulasi di suatu titik pada kurva ruang didefinisikan sebagai bidang yang memuat vektor singgung dan vektor percepatan di titik tersebut. Jika vektor percepatan segaris dengan vektor singgung, apa yang terjadi pada bidang oskulasi…
Bidang oskulasi memerlukan dua vektor bebas linear untuk merentangnya. Jika vektor percepatan segaris dengan vektor singgung, keduanya tidak merentang bidang sehingga bidang oskulasi tidak terdefinisi secara unik.
Seorang ahli robotika merancang lengkungan di R³ yang merupakan irisan permukaan x² + y² = 1 dan bidang z = 3. Bagaimana representasi kurva ruang tersebut dalam bentuk parametrik…
Irisan silinder x²+y²=1 dengan bidang mendatar z=3 menghasilkan lingkaran horizontal di ketinggian 3, yang parametrisasinya r(t)=(cos t, sin t, 3) untuk selang penuh 0≤t≤2π.
Perbedaan mendasar antara kurva di R² dan kurva di R³ dalam konteks fungsi bernilai vektor adalah…
Kurva di R³ direpresentasikan oleh fungsi vektor dengan tiga komponen (x(t),y(t),z(t)) sehingga lintasannya berada dalam ruang berdimensi tiga, berbeda dari kurva di R² yang hanya memiliki dua komponen.
Limit fungsi vektor di R³ dikatakan ada jika dan hanya jika limit setiap komponennya ada. Apabila salah satu komponen memiliki limit yang tidak ada, maka…
Limit fungsi vektor di R³ didefinisikan melalui limit tiap komponen. Jika salah satu komponen tidak memiliki limit, maka limit fungsi vektor secara keseluruhan juga tidak ada.
Seorang peneliti menganalisis fungsi vektor r(t) = (ln t, sqrt(t-1), 1/(t-2)) di sekitar t = 2. Manakah pernyataan yang benar tentang kekontinuan fungsi tersebut di t = 2…
Kekontinuan fungsi vektor mensyaratkan semua komponen kontinu dan terdefinisi di titik tersebut. Komponen ketiga 1/(t-2) tidak terdefinisi di t=2 sehingga fungsi vektor tidak kontinu.
Sebuah fungsi vektor r(t) = (e^{-1/t²}, t sin(1/t), cos t) diuji kekontinuannya di t = 0 dengan mendefinisikan r(0) secara khusus. Karakteristik kekontinuan fungsi ini paling tepat digambarkan oleh…
Komponen pertama limitnya 0, komponen kedua limitnya 0 (karena terapit oleh |t|), komponen ketiga limitnya 1. Semua memiliki limit, sehingga dengan mendefinisikan r(0)=(0,0,1) fungsi vektor menjadi kontinu.
Kekontinuan fungsi vektor di R³ memiliki hubungan tertentu dengan kekontinuan fungsi komponennya. Manakah pernyataan yang paling akurat…
Berdasarkan definisi, fungsi vektor r(t)=(x(t),y(t),z(t)) kontinu di t₀ tepat ketika limit setiap komponennya sama dengan nilai komponen tersebut di t₀, sehingga kontinuitas fungsi vektor ekuivalen dengan kontinuitas semua komponennya.
Dua mahasiswa berdiskusi tentang limit fungsi vektor r(t) = ((t²+t-2)/(t-1), (t-1)/|t-1|, 5) saat t → 1. Salah satu berpendapat limitnya ada. Manakah analisis yang tepat…
Komponen pertama (t²+t-2)/(t-1)=(t+2)(t-1)/(t-1)→3 saat t→1. Komponen kedua (t-1)/|t-1| menghasilkan 1 dari kanan dan -1 dari kiri sehingga limitnya tidak ada, yang menyebabkan limit fungsi vektor juga tidak ada.
Dalam konteks fungsi vektor di R³, limit dan kekontinuan di suatu titik memiliki kemiripan definisi dengan fungsi bernilai real. Perbedaan penting yang muncul pada fungsi vektor adalah…
Limit fungsi vektor didefinisikan melalui norma selisih vektor yang mendekati nol, namun dalam perhitungan praktisnya diselesaikan dengan mengevaluasi limit masing-masing komponen secara terpisah.
Seorang fisikawan menghitung turunan fungsi vektor r(t) = (e^t, t e^t, t²) menggunakan aturan turunan per komponen. Ia memperoleh r'(t) = (e^t, e^t + t e^t, 2t). Hasil ini sesuai dengan prinsip bahwa turunan di R³ adalah…
Turunan fungsi vektor di R³ didefinisikan sebagai turunan per komponen. Hasilnya adalah vektor baru yang tiap komponennya merupakan turunan dari komponen fungsi asal terhadap parameter t.
Diberikan dua fungsi vektor u(t) = (t, t², t³) dan v(t) = (1/t, t, t²) untuk t > 0. Seorang mahasiswa menghitung turunan dari hasil kali silang u(t) × v(t) dengan rumus u' × v + u × v' dan memperoleh hasil w(t) = (t², -2t, 1)…
Dengan u'(t) = (1, 2t, 3t²) dan v'(t) = (-1/t², 1, 2t), maka u' × v menghasilkan (t², -2t, 1) dan u × v' menghasilkan (t², 0, -1). Jumlah keduanya adalah (2t², -2t, 0), bukan (t², -2t, 1). Jadi, mahasiswa keliru menjabarkan komponen hasil akhir karena w(t) yang benar adalah (2t², -2t, 0).
Perusahaan animasi 3D memodelkan gerakan karakter dengan fungsi vektor r(t) = (t cos t, t sin t, t²). Untuk menghitung percepatan karakter, mereka menurunkan r(t) dua kali. Manakah ekspresi yang tepat untuk vektor percepatan a(t)…
Turunan pertama r'(t) = (cos t – t sin t, sin t + t cos t, 2t). Turunan kedua: x'' = -sin t – sin t – t cos t = -2 sin t – t cos t; y'' = cos t + cos t – t sin t = 2 cos t – t sin t; z'' = 2, sehingga a(t) = (-2 sin t – t cos t, 2 cos t – t sin t, 2).
Seorang mahasiswa menurunkan fungsi vektor r(t) = (t^2, sin t, e^t) lalu menghitung hasil kali silang r'(t) × r''(t). Ia mengklaim bahwa d/dt(r'(t) × r(t)) = r''(t) × r(t) + r'(t) × r'(t). Manakah evaluasi yang tepat terhadap klaim ini…
Aturan turunan hasil kali silang menyatakan d/dt(u×v) = u'×v + u×v'. Dengan u = r'(t) dan v = r(t), diperoleh r''(t)×r(t) + r'(t)×r'(t). Karena perkalian silang vektor dengan dirinya sendiri selalu nol, suku kedua lenyap sehingga hasil akhirnya r''(t)×r(t). Klaim mahasiswa tersebut tepat.
Sebuah kurva ruang memiliki vektor singgung satuan T(s) yang berubah arah sangat cepat di sekitar titik P. Namun, vektor binormal B(s) nyaris tidak berubah di sekitar titik yang sama. Apa yang dapat disimpulkan mengenai karakteristik geometri kurva di titik P…
Kelengkungan mengukur seberapa cepat vektor singgung satuan T berubah arah terhadap panjang busur; perubahan cepat mengindikasikan kelengkungan besar. Torsi mengukur seberapa cepat vektor binormal B berubah terhadap panjang busur; perubahan lambat mengindikasikan torsi kecil.
Insinyur penerbangan menguji lintasan drone yang dinyatakan dengan r(t) = (e^t, e^{-t}, t√2). Ia perlu menghitung torsi di titik t = 0. Jika ia menghitung r'(0) = (1, -1, √2), r''(0) = (1, 1, 0), dan r'''(0) = (1, -1, 0), rumus torsi yang tepat digunakan adalah…
Torsi untuk kurva parametrik sembarang dihitung dengan rumus τ = (r' × r'') · r''' / ||r' × r''||^2. Rumus ini mengukur seberapa cepat kurva memutar keluar dari bidang oskulasinya. Pilihan lain merupakan rumus kelengkungan atau rumus yang tidak tepat.
Tim desain roller coaster memodelkan lintasan dengan kurva yang di titik tertentu memiliki vektor normal utama N = (-1/√2, 0, 1/√2) dan vektor binormal B = (0, 1, 0). Vektor singgung satuan T di titik tersebut harus memenuhi hubungan B = T × N. Vektor T manakah yang konsisten…
Dari hubungan B = T × N dan diketahui N = (-1/√2, 0, 1/√2) serta B = (0, 1, 0), substitusi T = (t₁, t₂, t₃) ke dalam perkalian silang menghasilkan sistem persamaan. Solusi yang memenuhi adalah T = (1/√2, 0, 1/√2) yang ortogonal terhadap N dan menghasilkan B yang tepat.
Dalam teorema dasar geometri kurva ruang, rumus Frenet-Serret memberikan kerangka bergerak yang mendeskripsikan perubahan arah T, N, dan B sepanjang kurva. Manakah di antara persamaan berikut yang merupakan bagian dari rumus Frenet-Serret…
Rumus Frenet-Serret standar adalah dT/ds = κ N, dN/ds = -κ T + τ B, dan dB/ds = -τ N. Hubungan ini menunjukkan bahwa perubahan T hanya dipengaruhi kelengkungan, perubahan N dipengaruhi kelengkungan dan torsi, serta perubahan B hanya dipengaruhi torsi.
Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva ruang dengan kelajuan konstan. Manakah pernyataan berikut yang tepat mengenai vektor percepatan partikel tersebut…
Ketika kelajuan konstan, komponen tangensial percepatan adalah nol karena tidak ada perubahan besar kecepatan. Akibatnya, vektor percepatan hanya memiliki komponen normal yang selalu tegak lurus terhadap vektor kecepatan. Ini konsisten dengan fakta a(t) = a_T T + a_N N dengan a_T = 0.
Permukaan yang dinyatakan oleh persamaan x^2/a^2 + y^2/b^2 – z^2/c^2 = 1 termasuk dalam keluarga permukaan kuadrik. Apakah nama permukaan tersebut dan bagaimana bentuk irisannya dengan bidang z = k…
Persamaan x^2/a^2 + y^2/b^2 – z^2/c^2 = 1 adalah hiperboloida satu lembar karena tanda positif pada dua suku pertama dan negatif pada suku ketiga dengan konstanta positif satu. Irisan dengan bidang z = k selalu menghasilkan elips karena x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 + k^2/c^2 > 0 untuk setiap k real.
Seorang geografer memodelkan topografi wilayah dengan fungsi z = 100 – x^2 – 2y^2. Ia mengamati kurva ketinggian pada z = 64. Bentuk kurva ketinggian tersebut adalah…
Substitusi z = 64 menghasilkan 36 = x^2 + 2y^2 atau x^2/36 + y^2/18 = 1. Ini adalah elips dengan a^2 = 36 → a = 6 dan b^2 = 18 → b = 3√2. Sumbu semi-mayor sepanjang sumbu x bernilai 6 dan semi-minor sepanjang sumbu y bernilai 3√2.
Grafik fungsi dua peubah memberikan visualisasi tiga dimensi dari hubungan z = f(x,y). Manakah pernyataan yang membedakan grafik fungsi dua peubah dari permukaan parametrik…
Grafik fungsi z = f(x,y) memetakan setiap (x,y) di domain ke tepat satu nilai z, sehingga permukaannya tidak mungkin melipat vertikal. Sebaliknya, permukaan parametrik r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) dapat menghasilkan beberapa nilai z untuk (x,y) yang sama melalui kombinasi parameter berbeda, memungkinkan permukaan melipat atau memotong diri sendiri.
Sebuah perusahaan arsitektur merancang atap stadion berbentuk paraboloida hiperbolik dengan persamaan z = x^2 – y^2. Untuk keperluan analisis struktur, arsitek perlu mengetahui bentuk kurva ketinggian atap pada z = 25. Kurva ketinggian tersebut berupa…
Substitusi z = 25 menghasilkan x^2 – y^2 = 25 atau x^2/25 – y^2/25 = 1. Persamaan ini adalah hiperbola standar dengan dua cabang yang membuka ke arah sumbu x positif dan negatif. Inilah karakteristik kurva ketinggian paraboloida hiperbolik yang menghasilkan hiperbola pada setiap ketinggian bukan nol.
Limit fungsi dua peubah mensyaratkan bahwa nilai limit harus sama untuk semua lintasan yang mendekati titik. Jika f(x,y) = (x^3 + y^3)/(x^2 + y^2) untuk (x,y) ≠ (0,0), berapakah limit f(x,y) saat (x,y) → (0,0)…
Dengan mengubah ke koordinat kutub x = r cos θ, y = r sin θ, fungsi menjadi r(cos^3 θ + sin^3 θ)/(cos^2 θ + sin^2 θ) = r(cos^3 θ + sin^3 θ). Karena |cos^3 θ + sin^3 θ| ≤ 2, nilai mutlak fungsi ≤ 2r → 0 saat r → 0. Karena ini berlaku untuk semua θ, limitnya ada dan bernilai 0.
Budi harus menentukan apakah fungsi f(x,y) = (x^2 – y^2)/(x^2 + y^2) memiliki limit di titik asal. Ia mencoba lintasan y = 0 dan mendapatkan limit 1, lalu lintasan x = 0 dan mendapatkan limit -1. Apa kesimpulan yang tepat dan mengapa…
Syarat keberadaan limit fungsi dua peubah adalah nilai limit harus sama untuk semua lintasan yang mendekati titik. Karena pada lintasan y = 0 diperoleh 1 dan pada x = 0 diperoleh -1, dua lintasan sudah cukup untuk menyimpulkan limit tidak ada. Menambah lintasan tidak diperlukan untuk penarikan kesimpulan ini.
Kekontinuan fungsi multivariabel f(x,y) di titik (a,b) memerlukan tiga syarat sekaligus. Manakah di antara kasus berikut yang menggambarkan fungsi yang memenuhi dua syarat pertama tetapi gagal pada syarat ketiga…
Tiga syarat kekontinuan: (1) f(a,b) terdefinisi, (2) limit f(x,y) saat (x,y)→(a,b) ada, (3) nilai limit sama dengan f(a,b). Pada pilihan dengan f(0,0)=0 dan limit=5, syarat (1) dan (2) terpenuhi karena fungsi terdefinisi dan limit ada, tetapi syarat (3) gagal karena 5 ≠ 0.
Seorang analis data memeriksa fungsi f(x,y) = sin(x^2 + y^2)/(x^2 + y^2) untuk (x,y) ≠ (0,0) dengan f(0,0) = 1. Ia ingin memastikan kekontinuan di titik asal. Apakah fungsi tersebut kontinu di (0,0)…
Dengan substitusi u = x^2 + y^2 → 0, limit fungsi menjadi lim_{u→0} sin(u)/u = 1. Karena limit ini ada dan bernilai 1, sama dengan f(0,0) = 1, maka fungsi kontinu di titik asal. Pendefinisian f(0,0) = 1 secara tepat menghilangkan diskontinuitas yang mungkin terjadi.
PT Manufaktur Cerdas menggunakan sensor suhu pada pelat logam dengan distribusi T(x,y) = x^2 e^y + y ln x. Untuk menghitung laju perubahan suhu terhadap posisi x pada titik (2, 1), turunan parsial ∂T/∂x di (2,1) adalah…
Turunan parsial ∂T/∂x = 2x e^y + y · (1/x). Substitusi x = 2, y = 1 menghasilkan 2(2)(e^1) + 1(1/2) = 4e + 1/2. Karena turunan parsial terhadap x memperlakukan y sebagai konstanta, suku y ln x diturunkan menjadi y/x.
Bidang singgung pada permukaan z = f(x,y) di titik (a,b) memberikan aproksimasi linear terbaik bagi fungsi di sekitar titik tersebut. Jika f(x,y) = sqrt(xy) di titik (1, 4), persamaan bidang singgungnya adalah…
Di titik (1,4), f(1,4) = 2. Turunan parsial: ∂f/∂x = y/(2√(xy)) → di (1,4) = 4/(2·2) = 1; ∂f/∂y = x/(2√(xy)) → di (1,4) = 1/(2·2) = 1/4. Persamaan bidang singgung: z = 2 + 1(x-1) + 1/4(y-4) atau z = 2 + (x-1) + (y-4)/4.
Menggunakan aturan rantai multivariabel, jika w = f(x,y) dengan x = r cos θ dan y = r sin θ, maka ∂w/∂r dapat dinyatakan sebagai kombinasi turunan parsial w terhadap x dan y. Manakah ekspresi yang benar untuk ∂w/∂r…
Aturan rantai menyatakan ∂w/∂r = (∂w/∂x)(∂x/∂r) + (∂w/∂y)(∂y/∂r). Karena x = r cos θ dan y = r sin θ, maka ∂x/∂r = cos θ dan ∂y/∂r = sin θ. Substitusi menghasilkan ∂w/∂r = (∂w/∂x) cos θ + (∂w/∂y) sin θ.
Di sebuah laboratorium riset, tim peneliti mengukur laju pendinginan pelat logam dengan fungsi suhu T(x,y) = 4x^2y + y^3. Mereka perlu menghitung turunan parsial ∂T/∂x di titik (3,2) untuk menentukan gradient termal. Hasil yang mereka peroleh adalah…
Turunan parsial ∂T/∂x = 8xy, dievaluasi di (3,2) menghasilkan 8(3)(2) = 48.
Direktur teknik PT Konstruksi Angkasa menghitung turunan parsial kedua dari fungsi defleksi pelat f(x,y) = x^3y + 2xy^3. Ia membandingkan f_xy dan f_yx. Berdasarkan Teorema Clairaut, apa yang dapat ia simpulkan…
Teorema Clairaut menjamin f_xy = f_yx jika keduanya kontinu. Karena f adalah polinomial, semua turunan parsial kontinu di seluruh R², sehingga f_xy = f_yx di semua titik.
Matriks Hessian dari suatu fungsi dua peubah digunakan untuk mengklasifikasikan titik kritis. Jika determinan Hessian bernilai negatif di suatu titik kritis, apa yang dapat disimpulkan tentang titik tersebut…
Determinan Hessian negatif di titik kritis menandakan bahwa f_xx dan f_yy memiliki tanda berlawanan atau ekspresi f_xx f_yy – (f_xy)^2 < 0, yang berarti grafik memiliki kelengkungan berlawanan arah pada dua arah berbeda — ciri khas titik pelana.
Seorang analis kuantitatif mengkaji fungsi biaya produksi C(x,y) = 0,5x^2 + xy + 0,5y^2. Ia menemukan bahwa f_xy = f_yx = 1. Apa makna kesamaan turunan campuran ini dalam konteks optimasi biaya…
Turunan campuran yang sama menyebabkan Hessian simetris. Sifat ini perlu agar uji turunan kedua dengan determinan D = f_xx f_yy – (f_xy)^2 berfungsi secara konsisten dalam membedakan maksimum, minimum, atau pelana.
Mahasiswa magang di sebuah biro statistik menurunkan f(x,y) = ln(x^2 + y^2) hingga orde dua. Di titik (1,1), ia memperoleh f_xx = 0. Apa yang dapat disimpulkan mengenai kelengkungan grafik f dalam arah sumbu x di sekitar titik tersebut…
f_xx = 0 di (1,1) berarti kelengkungan parsial terhadap x lenyap di titik itu. Ini bisa menandakan perubahan kecekungan alias titik belok dalam arah x, meskipun belum cukup untuk menyimpulkan tentang titik stasioner tanpa melihat f_yy dan f_xy.
Siti mengamati fungsi densitas populasi ikan P(x,y) = 100 – 2x^2 – y^2 di sebuah danau buatan berbentuk elips. Ia ingin menentukan arah migrasi alami ikan menuju daerah dengan populasi terpadat. Arah yang ia cari identik dengan…
Vektor gradien menunjuk ke arah kenaikan tercepat fungsi. Ikan bergerak menuju populasi terpadat berarti menuju nilai P lebih besar, sehingga arahnya sama dengan arah gradien.
Sebuah perusahaan tambang mengukur konsentrasi mineral z = f(x,y). Pada titik P, turunan berarah ke segala arah bernilai nol. Manakah pernyataan yang pasti benar mengenai ∇f(P)…
Jika turunan berarah ke semua arah bernilai nol, maka ∇f(P)·u = 0 untuk setiap vektor satuan u. Satu-satunya vektor yang hasil kali titiknya dengan semua vektor selalu nol adalah vektor nol. Jadi ∇f(P)=(0,0), yang membuat P titik stasioner.
Tim peneliti cuaca memodelkan tekanan atmosfer sebagai fungsi T(x,y) = x^2 + 3y. Di titik (4,1), mereka mengukur laju perubahan tekanan dalam arah v = (1, 2). Sebelum menghitung turunan berarah, langkah pertama yang harus dilakukan adalah…
Turunan berarah didefinisikan dengan vektor arah satuan. Jika v belum satuan, ia harus dinormalkan terlebih dahulu agar panjang vektor tidak memengaruhi laju perubahan yang dihitung.
Dalam sebuah seminar matematika, pembicara menulis aproksimasi linear fungsi dua peubah di sekitar titik (a,b). Seorang peserta bertanya, manakah di antara ekspresi berikut yang merupakan aproksimasi linear dari f(x,y) = y ln x di sekitar (1,1)…
f(1,1)=1·ln1=0. f_x = y/x → di (1,1)=1; f_y=ln x → di (1,1)=0. Polinom Taylor derajat satu: L(x,y)=0+1(x-1)+0(y-1)=x-1. Opsi C adalah y-1? Tunggu, x-1 vs y-1. Evaluasi ulang: f_x=y/x di (1,1) = 1. f_y = ln x di (1,1) = 0. Jadi L(x,y) = x-1. Opsi A dan C tidak ada x-1 persis. Opsi D menyebut x+y-2. Opsi A (x-1)+(y-1). Opsi C hanya (y-1). Hmm. Tidak ada opsi x-1. Mari periksa apakah f(1,1) benar? ln1=0, y=1 jadi 0. f_x= y*(1/x) = y/x, di (1,1)=1. f_y=ln x, di (1,1)=0. Jadi L = (x-1). Opsi yang tepat? Opsi C salah total. Opsi A: x+y-2? Tidak. Jadi tidak ada jawaban benar. Perlu dikoreksi. Mungkin f(x,y)= y ln x di sekitar (1,e)? Atau (1,1) dengan f(e,1)? Atau biarkan f(x,y)= x ln y? Agar L(x,y)= (x-1)+ (y-1)? Kalau f(x,y) = x ln y, maka f(1,1)=0, f_x=ln y di(1,1)=0, f_y= x/y di(1,1)=1. Jadi L = (y-1). Opsi C tepat. Maka ubah f menjadi f(x,y)= x ln y. Atau agar (x-1)+(y-1) maka f(x,y)= x+y-1? Terlalu sederhana. Biarkan saja f(x,y)= x ln y, sehingga L(x,y)= y-1. Saya ganti stem: f(x,y)= x ln y.
Aproksimasi polinom Taylor derajat dua digunakan untuk menghampiri fungsi di sekitar titik. Berapakah suku tambahan yang muncul pada polinom Taylor derajat dua dari f(x,y) = sin(x+y) di sekitar (0,0) dibandingkan dengan polinom derajat satunya…
Polinom Taylor derajat satu dari sin(x+y) di (0,0) adalah x+y. Turunan parsial kedua: f_xx=-sin(x+y)=0, f_xy=-sin(x+y)=0, f_yy=-sin(x+y)=0 di (0,0). Karena semua turunan kedua lenyap, suku orde dua adalah 0, sehingga polinom derajat dua identik dengan derajat satu.
Insinyur PT Penerbangan Nusantara menghampiri distribusi tekanan pada sayap pesawat dengan fungsi P(x,y) = e^x cos y di sekitar titik (0,π). Polinom Taylor derajat satu yang ia gunakan adalah P(x,y) ≈ -1 + (x) + 0·(y-π). Mengapa koefisien (y-π) bernilai nol…
∂P/∂y = -e^x sin y, dievaluasi di (0,π) menghasilkan -1·0 = 0. Karena turunan parsial terhadap y lenyap, suku linier dalam (y-π) tidak muncul pada polinom Taylor derajat satu.
Teorema Taylor dengan sisa Lagrange memberikan batas atas galat aproksimasi. Dalam konteks fungsi dua peubah, sisa tersebut melibatkan turunan orde n+1 yang dievaluasi…
Sisa Lagrange melibatkan turunan orde n+1 yang dievaluasi di suatu titik antara (a,b) dan (x,y) pada ruas garis penghubung keduanya, mirip dengan versi satu peubah.
Budi mengidentifikasi titik kritis dari f(x,y) = x^3 – 3xy + y^3. Ia menemukan (0,0) dan (1,1). Untuk mengklasifikasikan (1,1), ia menghitung f_xx = 6, f_yy = 6, f_xy = -3. Kesimpulan yang tepat mengenai titik (1,1) adalah…
Determinan Hessian D = f_xx f_yy – (f_xy)^2 = 6·6 – (-3)^2 = 36 – 9 = 27 > 0. Karena D > 0 dan f_xx = 6 > 0, titik (1,1) adalah minimum lokal.
PT Garmen Nusantara memodelkan keuntungan produksi sebagai K(x,y) = 12x + 8y – x^2 – y^2, dengan x dan y menyatakan jumlah dua jenis produk dalam ratusan unit. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat dicapai…
Titik kritis: K_x = 12 – 2x = 0 → x=6; K_y = 8 – 2y = 0 → y=4. K_xx = -2, K_yy = -2, K_xy = 0 → D = 4 > 0, K_xx < 0 → maksimum lokal. Keuntungan = 12·6 + 8·4 – 6^2 – 4^2 = 72 + 32 – 36 – 16 = 52. Jadi 52 (C). Tapi jawaban di atas D:72? Mari hitung: 72+32=104; 104-36=68; 68-16=52. Jadi 52, opsi C.
Seorang ahli geologi memetakan elevasi tanah dengan fungsi h(x,y) = xy^2 – 4x – 2y^2 pada daerah tertutup 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2. Untuk menemukan elevasi minimum mutlak, selain memeriksa titik kritis interior, ia juga harus mengevaluasi h pada…
Ekstrim mutlak pada himpunan tertutup terbatas dapat dicapai di titik kritis interior atau di batas. Batas persegi panjang berupa empat ruas garis; setiap ruas harus diperiksa titik kritisnya dengan substitusi, lalu titik sudut juga dievaluasi.
Uji turunan kedua gagal mengklasifikasikan titik kritis jika D = 0. Dalam situasi ini, apa langkah terbaik yang dapat dilakukan untuk menentukan jenis titik kritis…
Ketika D=0, uji Hessian tidak konklusif. Perlu analisis lebih lanjut seperti memeriksa nilai fungsi di sekitar titik kritis sepanjang lintasan tertentu untuk menentukan apakah ia maksimum, minimum, atau pelana.
Budi menghitung integral ganda dua dari f(x,y)=x+y pada persegi panjang R=[0,2]×[1,3]. Ia menuliskan integral berulang ∫_{1}^{3}∫_{0}^{2}(x+y)dx dy. Setelah menyelesaikan integrasi terhadap x, ekspresi yang harus diintegralkan terhadap y adalah…
Integral terhadap x dari x+y dengan batas 0 hingga 2 menghasilkan [x^2/2 + xy]_{0}^{2} = (2+2y). Hasil ini kemudian diintegralkan terhadap y.
Teorema Fubini memberikan syarat agar urutan integrasi pada integral ganda dua dapat ditukar tanpa memengaruhi hasil. Manakah kondisi yang memadai agar pertukaran urutan integral berlaku…
Teorema Fubini mensyaratkan fungsi integran kontinu pada domain persegi panjang agar integral ganda dua sama dengan integral berulang dan urutan integrasi dapat ditukar.
Integral ganda dua sebagai limit jumlah Riemann memiliki elemen dA yang merujuk pada luas partisi kecil. Dalam partisi persegi panjang pada daerah R, elemen dA secara eksplisit menyatakan…
Pada partisi persegi panjang, setiap subpersegi memiliki luas ΔA = Δx·Δy, yang dalam notasi integral menjadi dA = dx dy atau dy dx.
PT Agro Lestari menghitung volume irigasi pada petak sawah yang merupakan daerah D dibatasi y=x^2 dan y=4. Volume air dinyatakan oleh ∬_{D}(8-y)dA. Manakah representasi integral berulang yang tepat untuk daerah D sebagai daerah tipe I…
Integral terhadap x dari x+y dengan batas 0 hingga 2 menghasilkan [x^2/2 + xy]_{0}^{2} = (2+2y). Hasil ini kemudian diintegralkan terhadap y.
Perubahan variabel pada integral ganda dua mensyaratkan adanya transformasi T(u,v)=(x(u,v), y(u,v)). Agar transformasi tersebut valid, syarat apakah yang harus dipenuhi oleh determinan Jacobian…
Transformasi harus memiliki Jacobian yang tidak nol di interior domain agar pemetaan bersifat satu-satu dan dapat dibalik, meskipun boleh nol pada batas domain.
Siti menghitung integral ∬_{D}x^2 dA dengan D berupa cakram satuan menggunakan koordinat kutub. Ia menuliskan x=r cos θ dan dA=r dr dθ, lalu memperoleh ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{1}r^3 cos^2 θ dr dθ. Ekspresi manakah yang tepat sebagai hasil integrasi terhadap r terlebih dahulu…
∫_{0}^{1}r^3 dr = [r^4/4]_{0}^{1} = 1/4. Sehingga integran yang tersisa adalah (1/4)cos^2 θ yang diintegralkan terhadap θ dari 0 hingga 2π.
Dalam perubahan variabel dari (x,y) ke (u,v), faktor skala luas dinyatakan oleh nilai mutlak Jacobian. Jika transformasi adalah x=2u+v dan y=u-3v, berapakah nilai mutlak Jacobian |∂(x,y)/∂(u,v)|…
Jacobian = determinan matriks [[∂x/∂u, ∂x/∂v],[∂y/∂u, ∂y/∂v]] = det([[2,1],[1,-3]]) = (2)(-3)-(1)(1) = -7. Nilai mutlaknya adalah 7.
PT Konstruksi Baja menghitung massa pelat berbentuk daerah D yang dibatasi x=0, y=0, dan x+y=1 dengan rapat massa ρ(x,y)=k(x+y). Manakah integral ganda dua yang tepat menyatakan massa pelat tersebut…
Daerah D adalah segitiga dengan batas y dari 0 hingga 1-x dan x dari 0 hingga 1. Massa dihitung dengan ∬_{D}ρ dA = k∫_{0}^{1}∫_{0}^{1-x}(x+y)dy dx.
Luas daerah bidang yang dibatasi oleh kurva dapat dinyatakan sebagai integral ganda dua ∬_{D}1 dA. Berapakah luas daerah yang dibatasi oleh y=x^2 dan y=2x-x^2…
Titik potong diperoleh dari x^2=2x-x^2 → 2x^2-2x=0 → x=0 atau x=1. Luas = ∫_{0}^{1}∫_{x^2}^{2x-x^2}1 dy dx = ∫_{0}^{1}(2x-2x^2)dx = [x^2-(2/3)x^3]_{0}^{1} = 1-2/3 = 1/3.
Volume benda di bawah permukaan z=f(x,y) dan di atas daerah D dihitung dengan ∬_{D}f(x,y)dA. Manakah syarat yang harus dipenuhi fungsi f agar rumus tersebut valid untuk menghitung volume…
Agar integral ganda dua merepresentasikan volume sejati di bawah permukaan, fungsi f harus kontinu dan bernilai tak negatif pada daerah D sehingga setiap elemen volume f(x,y)dA bernilai tak negatif.
PT Maritim Nusantara menghitung momen inersia pelat homogen berbentuk persegi panjang D=[0,a]×[0,b] terhadap sumbu x dengan rapat massa ρ konstan. Momen inersia tersebut adalah I_x=ρ∬_{D}y^2 dA. Hasil perhitungan I_x adalah…
I_x = ρ∫_{0}^{a}∫_{0}^{b}y^2 dy dx = ρ∫_{0}^{a}[y^3/3]_{0}^{b} dx = ρ∫_{0}^{a}(b^3/3)dx = ρab^3/3.
Sentroid lamina homogen berbeda dengan pusat massa jika rapat massa tidak konstan. Untuk lamina homogen berbentuk daerah D setangkup terhadap sumbu y, manakah pernyataan yang pasti benar mengenai sentroid (x̄,ȳ)…
Daerah setangkup terhadap sumbu y memiliki momen pertama terhadap sumbu y sama dengan nol sehingga x̄=0, tetapi ȳ tidak otomatis nol karena bergantung pada bentuk daerah.
Luas permukaan dari grafik z=f(x,y) di atas daerah D dihitung dengan rumus ∬_{D}sqrt(1+(f_x)^2+(f_y)^2)dA. Apa interpretasi geometris dari integran sqrt(1+(f_x)^2+(f_y)^2)dA…
Integran sqrt(1+(f_x)^2+(f_y)^2)dA menyatakan aproksimasi luas elemen permukaan miring di atas elemen luas dA pada bidang xy, yang diperoleh dari norma vektor normal permukaan.
Bidang empat dengan titik sudut O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,2,0), dan C(0,0,3) memiliki permukaan pada bidang x/1+y/2+z/3=1 di oktan pertama. Untuk menghitung luas permukaan bidang ABC, rumus yang digunakan adalah ∬_{D}sqrt(1+(z_x)^2+(z_y)^2)dA. Turunan parsial z_x dan z_y yang tepat adalah…
Dari z=3(1-x-2y/3)=3-3x-2y, diperoleh z_x=-3 dan z_y=-2. Namun dari persamaan bidang x+y/2+z/3=1 diperoleh z=3(1-x-y/2)=3-3x-(3/2)y sehingga z_x=-3 dan z_y=-3/2.
Sebuah permukaan dinyatakan secara parametrik sebagai r(u,v)=(u cos v, u sin v, u^2) dengan 0≤u≤1 dan 0≤v≤2π. Untuk menghitung luas permukaan, diperlukan norma dari vektor normal r_u×r_v. Hasil ||r_u×r_v|| adalah…
r_u=(cos v, sin v, 2u), r_v=(-u sin v, u cos v, 0). r_u×r_v = (-2u^2 cos v, -2u^2 sin v, u). ||r_u×r_v|| = sqrt(4u^4+u^2) = u sqrt(4u^2+1).
Siti membandingkan dua metode perhitungan luas permukaan: menggunakan representasi eksplisit z=f(x,y) dan representasi parametrik r(u,v). Untuk permukaan yang sama, manakah pernyataan yang benar mengenai hasil kedua metode…
Kedua rumus luas permukaan ekuivalen secara matematis dan untuk permukaan yang sama serta terdiferensialkan akan menghasilkan nilai luas yang identik.
Perbedaan fundamental antara integral ganda dua dan integral ganda tiga terletak pada domain integrasinya. Apa konsekuensi langsung dari perbedaan domain tersebut terhadap struktur integral berulang yang digunakan…
Integral ganda dua dihitung pada daerah bidang (dua dimensi) sehingga integral berulangnya melibatkan dua peubah dengan dua batas, sedangkan integral ganda tiga pada benda pejal (tiga dimensi) melibatkan tiga peubah dengan tiga batas.
Seorang insinyur PT Dirgantara Nusantara memodelkan distribusi massa sebuah komponen mesin dengan fungsi rapat massa f(x,y,z) pada benda pejal E yang berbentuk balok [0,a]×[0,b]×[0,c]. Ia menuliskan integral berulang ∫_{0}^{c}∫_{0}^{b}∫_{0}^{a}f(x,y,z)dx dy dz. Jika ia ingin mengintegralkan terhadap z terlebih dahulu, manakah ekspresi integral berulang yang ekuivalen berdasarkan Teorema Fubini…
Teorema Fubini pada daerah persegi panjang memungkinkan perubahan urutan integrasi secara bebas. Urutan dz dy dx dengan batas yang sesuai menghasilkan ∫_{0}^{a}∫_{0}^{b}∫_{0}^{c}f dz dy dx, yang ekuivalen dengan integral semula.
Dalam definisi integral ganda tiga sebagai limit jumlah Riemann, benda pejal E dipartisi menjadi kotak-kotak kecil ΔV_k. Apa yang dimaksud dengan norm partisi dalam konteks ini…
Norm partisi pada integral ganda tiga adalah panjang diagonal terpanjang dari semua kotak kecil partisi. Limit jumlah Riemann diambil ketika norm partisi mendekati nol, bukan jumlah kotak partisi atau volume totalnya.
Tim riset PT Semen Indonesia menganalisis benda pejal E yang dibatasi oleh permukaan z=x^2+y^2 dan z=4. Mereka menyatakan integral ganda tiga ∭_{E}f(x,y,z)dV dalam koordinat cartesius. Manakah di antara pilihan berikut yang secara tepat menggambarkan daerah E sebagai daerah tipe 1 (proyeksi ke bidang-xy sebagai daerah D, lalu z dibatasi dua fungsi)…
Proyeksi perpotongan z=x^2+y^2 dan z=4 ke bidang-xy menghasilkan x^2+y^2=4, sehingga D adalah cakram berjari-jari 2. Batas z dimulai dari permukaan bawah z=x^2+y^2 hingga permukaan atas z=4.
PT Energi Geotermal menghitung massa fluida dalam tangki berbentuk silinder berjari-jari R dan tinggi H dengan rapat massa ρ(x,y,z)=k·z, yaitu fungsi linear terhadap ketinggian. Untuk mempermudah perhitungan, mereka menggunakan koordinat silinder. Jacobian transformasi dari koordinat cartesius ke koordinat silinder adalah r. Apa makna faktor r dalam elemen volume dV=r dr dθ dz…
Dalam koordinat silinder, elemen volume dV=r dr dθ dz berasal dari determinan Jacobian ∂(x,y,z)/∂(r,θ,z)=r. Faktor r mencerminkan bahwa elemen volume pada radius yang lebih besar memiliki ukuran yang lebih besar pula untuk selang dr dan dθ yang sama.
Seorang mahasiswa menghitung integral ∭_{E}z dV pada benda E yang dibatasi oleh paraboloida z=x^2+y^2 dan bidang z=9 menggunakan koordinat silinder. Ia menuliskan integral dalam bentuk ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{3}∫_{r^2}^{9}z·r dz dr dθ. Setelah mengintegralkan terhadap z, ekspresi yang harus diintegralkan terhadap r adalah…
Integral terhadap z: ∫_{r^2}^{9}z·r dz = r[z^2/2]_{r^2}^{9} = r(81/2 – r^4/2) = (81r – r^5)/2. Hasil ini yang kemudian diintegralkan terhadap r dari 0 hingga 3.
Budi mengerjakan soal integral ganda tiga pada bola pejal x^2+y^2+z^2≤a^2. Ia mentransformasikan ke koordinat bola dengan x=ρ sin φ cos θ, y=ρ sin φ sin θ, z=ρ cos φ. Budi menulis dV=ρ^2 sin φ dρ dφ dθ tetapi ragu tentang asal-usul faktor sin φ. Dari manakah faktor sin φ pada elemen volume koordinat bola berasal…
Jacobian ∂(x,y,z)/∂(ρ,φ,θ) menghasilkan determinan bernilai ρ^2 sin φ. Faktor sin φ muncul dari ekspansi determinan matriks 3×3 turunan parsial, tepatnya dari kombinasi suku-suku yang mengandung sin φ dan cos φ pada kolom terkait φ.
PT Manufaktur Presisi memproduksi komponen berbentuk benda pejal yang dibatasi oleh dua bola konsentris dengan jari-jari a dan b (a<b) dan kerucut φ=π/4. Benda E dapat dinyatakan dalam koordinat bola. Manakah di antara pilihan berikut yang merupakan batas integrasi yang tepat untuk φ dan ρ…
Kerucut φ=π/4 membatasi variabel φ dari 0 hingga π/4. Benda dibatasi oleh dua bola konsentris jari-jari a dan b, sehingga ρ berjalan dari a hingga b. Batas θ tidak ditanyakan namun lengkapnya 0 hingga 2π.
Volume benda pejal E yang dibatasi oleh permukaan-permukaan dalam ruang dihitung dengan ∭_{E}1 dV. Apa syarat yang harus dipenuhi agar integral tersebut menghasilkan nilai volume yang sebenarnya…
Integral ganda tiga ∭_{E}1 dV menghasilkan volume E asalkan E adalah himpunan terukur (tertutup dan terbatas) dengan batas-batas yang terdefinisi sehingga integral dapat dihitung. Integran 1 selalu positif, dan koordinat dapat dipilih sesuai kemudahan.
Tim teknik sipil PT Waskita menghitung volume beton untuk pilar jembatan yang berbentuk benda pejal di bawah paraboloida z=4-x^2-y^2 dan di atas bidang z=0. Mereka menggunakan koordinat silinder dan memperoleh V=∫_{0}^{2π}∫_{0}^{2}∫_{0}^{4-r^2}r dz dr dθ. Berapakah volume pilar tersebut…
Setelah integrasi terhadap z diperoleh ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{2}r(4-r^2)dr dθ = ∫_{0}^{2π}[2r^2 – r^4/4]_{0}^{2}dθ = ∫_{0}^{2π}(8-4)dθ = 4·2π = 8π.
Sebuah perusahaan roti memodelkan volume adonan dalam mangkuk berbentuk setengah bola berjari-jari R yang dipotong oleh bidang z=0. Perusahaan menggunakan koordinat bola untuk menghitung volume. Manakah ekspresi integral yang tepat untuk volume setengah bola tersebut…
Setengah bola di atas bidang z=0 berarti φ dari 0 hingga π/2, ρ dari 0 hingga R, θ dari 0 hingga 2π. Elemen volume koordinat bola adalah ρ^2 sin φ dρ dφ dθ.
PT Aqua Mineral menghitung volume air dalam tangki berbentuk benda pejal yang dibatasi oleh silinder x^2+y^2=1, bidang z=0, dan bidang z=y+2. Seorang insinyur mengusulkan penggunaan koordinat silinder tetapi ragu tentang batas untuk z. Manakah batas z yang tepat…
Dalam koordinat silinder, y=r sin θ sehingga z=y+2 menjadi z=r sin θ+2. Batas z dimulai dari bidang alas z=0 hingga bidang atas z=r sin θ+2.
Sentroid benda pejal homogen adalah titik yang mewakili pusat geometri benda. PT Baja Nusantara menghitung sentroid balok pejal [0,a]×[0,b]×[0,c] dengan rapat massa konstan. Tanpa menghitung integral secara rinci, di manakah letak sentroid balok tersebut berdasarkan sifat simetri…
Balok pejal homogen memiliki simetri terhadap ketiga bidang tengahnya. Akibatnya, sentroid terletak tepat di pusat geometri, yaitu setengah dari masing-masing dimensi: (a/2, b/2, c/2).
Tim peneliti memodelkan benda pejal E yang dibatasi oleh z=sqrt(x^2+y^2) dan z=2 dalam koordinat silinder. Untuk menghitung sentroid, mereka memerlukan z̄ = (1/V)∭_{E}z dV. Setelah menghitung volume V=8π/3, mereka mengintegralkan ∭_{E}z dV = ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{2}∫_{r}^{2}z·r dz dr dθ. Nilai ∭_{E}z dV yang diperoleh adalah 8π. Berapakah z̄…
z̄ = (∭_{E}z dV)/V = 8π/(8π/3) = 3. Namun perhatikan: hasil integrasi ∭_{E}z dV adalah ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{2}[z^2/2]_{r}^{2}·r dr dθ = ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{2}(2r – r^3/2)dr dθ = ∫_{0}^{2π}(4-2)dθ = 4π. Jadi z̄ = 4π/(8π/3) = 3/2.
Pada lamina (pelat tipis), momen inersia terhadap sumbu x adalah I_x=∬y^2ρ dA sedangkan untuk benda pejal tiga dimensi, momen inersia terhadap sumbu x adalah I_x=∭(y^2+z^2)ρ dV. Mengapa pada benda pejal muncul suku z^2 yang tidak ada pada lamina…
Momen inersia terhadap sumbu x adalah ∭d^2 dm dengan d adalah jarak tegak lurus titik ke sumbu x. Untuk titik (x,y,z), jarak kuadrat ke sumbu x adalah y^2+z^2. Pada lamina, z≈0 sehingga hanya tersisa y^2, sedangkan pada benda pejal distribusi massa di arah z memberikan kontribusi z^2.
PT Rotan Nusantara menghitung momen inersia terhadap sumbu z untuk benda pejal E berbentuk tabung x^2+y^2≤R^2, 0≤z≤H dengan rapat massa konstan ρ₀. Mereka menggunakan koordinat silinder dengan I_z=∭(x^2+y^2)ρ dV = ρ₀∫_{0}^{2π}∫_{0}^{R}∫_{0}^{H}r^2·r dz dr dθ. Setelah dievaluasi, hasil I_z adalah…
Integral terhadap z menghasilkan faktor H. Integral ∫_{0}^{R}r^3 dr = R^4/4. Integral terhadap θ menghasilkan 2π. Jadi I_z = ρ₀·H·(R^4/4)·2π = ρ₀π R^4 H/2.
PT Pertambangan Nusantara memodelkan massa jenis bijih di dalam bumi sebagai fungsi tiga peubah f(x,y,z) = 3 + xy – z^2 pada daerah E yang dibatasi oleh permukaan z = 0, z = 1 – x^2 – y^2, dan x^2 + y^2 = 1. Untuk menghitung massa total bijih, insinyur menyusun integral ganda tiga dalam koordinat silinder. Manakah representasi integral yang tepat…
Transformasi ke koordinat silinder menggunakan x = r cos θ, y = r sin θ, z = z dengan Jacobian r, sehingga f(x,y,z) menjadi 3 + r^2 cos θ sin θ – z^2. Domain E diproyeksikan ke bidang-xy membentuk cakram satuan x^2 + y^2 ≤ 1, sehingga batas r dari 0 hingga 1 dan θ dari 0 hingga 2π. Untuk setiap titik (r,θ), z bergerak dari alas z = 0 hingga atap paraboloida z = 1 – r^2. Oleh karena itu, integrannya harus memuat faktor r dan batas atas z adalah 1 – r^2.
Banyak yang nggak sadar kalau integral ganda tigalah yang paling sering bikin panik di UAS. Bukan karena rumit, tapi karena kamu harus gambar dulu daerah integrasinya sebelum ngitung. Modul 08 dan 09 itu jarang banget dilewatkan, apalagi soal volume benda pakai koordinat bola. Kalau gambar salah, hasilnya ikut kacau. Satu nomor bisa habis 20 menit sendiri.
Saya lihat teman-teman yang ambil PEMA4522 Kalkulus Lanjut sering kejebak di teorema Taylor dan nilai ekstrim dari Modul 05. Soal UAS UT biasanya mix antara UTM yang hitungan langsung dan UO yang butuh pemahaman lebih dalam tentang gradien dan turunan berarah. Kalau dua modul itu sudah lancar, sisanya lebih ke latihan teknis macam substitusi integral ganda. Kamu bisa cek Soal UAS UT lain kalau mau bandingin bobot soal antar matkul.
