Buka modul MATA4403 Persamaan Diferensial Parsial langsung lihat deretan integral dan turunan parsial, kepala udah pusing duluan. Apalagi pas nemu Modul 1 soal konsep solusi sama pengertian umum PDP yang beda tipis sama ODE biasa. Nggak heran banyak yang stuck di awal. latihan soal UT di halaman ini sengaja kami susun dari awal biar kamu bisa bedain mana solusi umum dan mana solusi khusus.
Modul 4 soal klasifikasi persamaan orde 2 pake nilai eigen itu tantangan sendiri, soalnya butuh logika matriks dulu. Bedanya bentuk hiperbolik, parabolik, sama eliptik sering bikin bingung pas nemu soal hitungan langsung. Cobain aja bagian itu pelan-pelan. kumpulan soal UT Matematika kami desain per modul, jadi kamu bisa latihan tepat di topik yang masih abu-abu.
Soal UAS UT di bawah ini nyerempet inti tiap KB, dari metode d’Alembert di Modul 7 sampai maslaah nilai awal Cauchy di Modul 2. Setiap soal lengkap dengan kunci jawaban dan pembahasan, bukan sekadar hasil akhir doang. Langsung cek sendiri mana jawaban yang selama ini kamu sangka benar ternyata salah di pembahasannya.
Soal UT MATA4403 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan yang mengandung turunan parsial dari suatu fungsi dengan dua peubah bebas atau lebih disebut sebagai persamaan diferensial …
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat turunan parsial dari fungsi yang memiliki lebih dari satu peubah bebas.
Orde dari suatu persamaan diferensial parsial ditentukan oleh …
Orde dari persamaan diferensial parsial didefinisikan sebagai tingkat tertinggi dari turunan parsial yang muncul dalam persamaan tersebut.
Persamaan diferensial parsial dikatakan linear jika …
Linearitas dalam persamaan diferensial parsial berarti fungsi yang tidak diketahui dan semua turunan parsialnya muncul dalam bentuk pangkat satu dan tidak dikalikan satu sama lain.
Persamaan u_xx + u_yy = sin(xy) termasuk jenis persamaan diferensial parsial …
Persamaan tersebut linear karena fungsi u dan turunannya muncul secara linear, dan memiliki suku sin(xy) yang tidak bergantung pada u sehingga disebut non-homogen.
Banyaknya konstanta sembarang yang muncul dalam solusi umum persamaan diferensial parsial orde dua dengan dua peubah bebas umumnya adalah …
Solusi umum persamaan diferensial parsial biasanya melibatkan fungsi sembarang, bukan konstanta, sehingga jumlahnya tak terhingga.
Solusi umum dari persamaan diferensial parsial u_xy = 0 adalah …
Dengan mengintegralkan u_xy = 0 terhadap y kemudian terhadap x, diperoleh solusi umum berbentuk u(x,y) = f(x) + g(y) dengan f dan g fungsi sembarang.
Suatu fungsi v(x,y) disebut solusi dari persamaan diferensial parsial jika …
Sebuah fungsi disebut solusi dari persamaan diferensial parsial jika fungsi tersebut memenuhi persamaan yang diberikan pada domain tertentu beserta kondisi batas atau awal yang ditetapkan.
Solusi khusus dari persamaan diferensial parsial diperoleh dengan cara …
Solusi khusus diperoleh dari solusi umum dengan menentukan nilai fungsi sembarang berdasarkan kondisi awal atau kondisi batas yang diberikan.
Jika suatu persamaan diferensial parsial memiliki solusi yang tunggal untuk kondisi awal tertentu, maka masalah tersebut disebut …
Masalah yang memiliki solusi tunggal dan bergantung secara kontinu pada data awal disebut well-posed.
Solusi umum dari persamaan diferensial parsial u_x = 0 adalah …
Jika u_x = 0, maka u tidak bergantung pada x, sehingga solusi umum adalah u(x,y) = f(y) dengan f fungsi sembarang dari y.
Kondisi yang menentukan nilai suatu fungsi pada batas domain disebut kondisi …
Kondisi batas adalah kondisi yang diberikan pada batas domain dari masalah persamaan diferensial parsial, berbeda dengan kondisi awal yang diberikan pada waktu awal.
Pada masalah nilai awal, kondisi biasanya diberikan pada …
Masalah nilai awal memberikan kondisi pada suatu titik awal, misalnya pada t=0 untuk masalah yang bergantung waktu.
Syarat Dirichlet adalah jenis kondisi batas yang menetapkan nilai …
Kondisi batas Dirichlet menspesifikasikan nilai fungsi yang tidak diketahui pada batas domain.
Syarat Neumann adalah jenis kondisi batas yang menetapkan nilai …
Kondisi batas Neumann menspesifikasikan nilai turunan normal dari fungsi pada batas domain.
Jika suatu persamaan diferensial parsial orde dua memerlukan dua kondisi batas dan satu kondisi awal, maka persamaan tersebut biasanya bertipe …
Persamaan hiperbolik seperti persamaan gelombang memerlukan dua kondisi awal dan dua kondisi batas untuk solusi yang tunggal.
Solusi dari persamaan diferensial parsial orde 1 koefisien konstan a u_x + b u_y = 0 dapat ditemukan dengan metode …
Persamaan diferensial parsial orde 1 koefisien konstan dapat diselesaikan dengan metode karakteristik, yang mencari kurva di mana solusi konstan.
Jika diberikan persamaan 2 u_x – 3 u_y = 0, maka solusi umumnya adalah …
Dengan metode karakteristik, persamaan karakteristiknya adalah dy/dx = -3/2 sehingga diperoleh 2x – 3y = konstan. Solusi umum adalah u(x,y) = f(2x – 3y).
Bentuk umum persamaan diferensial parsial orde 1 koefisien konstan adalah a*df/dx + b*df/dy = 0. Jika a=2 dan b=3, maka solusi umum dari persamaan tersebut adalah?
Persamaan 2*df/dx + 3*df/dy = 0 memiliki kurva karakteristik dy/dx=3/2, sehingga solusi umum adalah f(x,y)=C(y – (3/2)x).
Untuk persamaan df/dx + 5*df/dy = 0, solusi umumnya adalah f(x,y)=g(5x – y). Jika kondisi awal f(0,y)=y^2, maka solusi khususnya adalah?
Substitusi u=5x-y, maka f(0,y)=g(-y)=y^2, sehingga g(z)=z^2. Jadi f(x,y)=(5x – y)^2 = y^2 – 10xy + 25x^2.
Diketahui persamaan 4*df/dx – 2*df/dy = 0. Kurva karakteristik dari persamaan ini adalah?
Persamaan a*df/dx + b*df/dy = 0 dengan a=4, b=-2, maka dy/dx = b/a = -2/4 = -1/2.
Persamaan diferensial parsial orde 1 koefisien variabel berbentuk a(x,y)*df/dx + b(x,y)*df/dy = 0. Jika a(x,y)=y dan b(x,y)=x, maka solusi umum dari persamaan tersebut adalah?
Persamaan y*df/dx + x*df/dy = 0 memiliki kurva karakteristik dy/dx = x/y. Solusi karakteristik adalah y^2 – x^2 = K, sehingga solusi umum f(x,y)=C(x^2 – y^2).
Untuk persamaan x*df/dx + y*df/dy = 0, solusi umumnya adalah f(x,y)=g(y/x). Jika x>0 dan y>0, maka bentuk lain yang ekuivalen adalah?
Kurva karakteristik dy/dx = y/x menghasilkan ln y – ln x = K, atau y/x = C. Solusi umum dapat ditulis sebagai f(x,y)=g(y/x) atau f(x,y)=h(ln(y/x)) karena fungsi komposisi.
Diketahui persamaan (x+1)*df/dx + (y-2)*df/dy = 0. Solusi umum dari persamaan ini adalah?
Kurva karakteristik dy/dx = (y-2)/(x+1). Solusinya adalah (y-2) = K(x+1), sehingga y-2 = K(x+1) atau K=(y-2)/(x+1). Jadi solusi umum f(x,y)=C((y-2)/(x+1)).
Persamaan y*df/dx – x*df/dy = 0 memiliki solusi umum f(x,y)=g(x^2 + y^2). Jika kondisi awal f(x,0)= sin x, maka solusi khususnya adalah?
Substitusi y=0 ke solusi umum: f(x,0)=g(x^2)= sin x, maka g(z)= sin(akar(z)). Jadi f(x,y)= sin(akar(x^2 + y^2)).
Untuk persamaan x^2*df/dx + xy*df/dy = 0, kurva karakteristiknya adalah?
Kurva karakteristik dari a(x,y)*df/dx + b(x,y)*df/dy = 0 adalah dy/dx = b/a. Di sini a=x^2, b=xy, sehingga dy/dx = xy/x^2 = y/x.
Persamaan quasi linear berbentuk a(x,y,u)*df/dx + b(x,y,u)*df/dy = c(x,y,u). Jika a=1, b=1, c=u, maka solusi umum dari persamaan tersebut adalah?
Persamaan df/dx + df/dy = u. Kurva karakteristik dx/1 = dy/1 = du/u. Dari dx=dy diperoleh x-y=C1. Dari dx=du/u diperoleh u= e^(x)*g(C1). Substitusi C1=x-y, maka u= e^(x)*g(x-y) = e^(x+y)*g(x-y) setelah disesuaikan.
Diketahui persamaan quasi linear y*df/dx + x*df/dy = 0. Solusi umum dari persamaan ini adalah?
Persamaan adalah quasi linear karena koefisien a=y, b=x, c=0. Kurva karakteristik dy/dx = x/y. Solusinya adalah x^2 – y^2 = C1. Karena c=0, solusi umum adalah f(x,y)=g(C1)=g(x^2 – y^2).
Untuk persamaan quasi linear u*df/dx + x*df/dy = x, dengan kondisi awal u(x,0)=x, solusi khususnya adalah?
Kurva karakteristik dx/u = dy/x = du/x. Dari dy/x = du/x diperoleh dy=du, sehingga u=y+C1. Menggunakan kondisi awal y=0, u=x, maka C1=x. Jadi u=x+y.
Persamaan quasi linear x*df/dx + y*df/dy = xy. Solusi umum dari persamaan ini adalah?
Kurva karakteristik dx/x = dy/y = df/(xy). Dari dx/x = dy/y diperoleh y/x=C1. Dari dx/x = df/(xy) substitusi y=C1 x, maka dx/x = df/(C1 x^2) atau df = C1 x dx. Integral: f = (C1 x^2)/2 + g(C1) = (xy)/2 + g(y/x).
Diketahui persamaan quasi linear df/dx + df/dy = u^2. Solusi umum dari persamaan ini adalah?
Kurva karakteristik dx/1 = dy/1 = du/u^2. Dari dx=dy diperoleh x-y=C1. Dari dx=du/u^2, integral: du/u^2 = dx, sehingga -1/u = x + C2. Jadi u = -1/(x+C2). Substitusi C2 = g(C1) = g(x-y), maka u = 1/(C – x – y).
Masalah nilai awal Cauchy untuk persamaan df/dx + 2*df/dy = 0 dengan kondisi awal u(0,y)=y^2. Solusi khususnya adalah?
Solusi umum adalah u(x,y)=g(y – 2x). Kondisi awal u(0,y)=g(y)=y^2, maka g(z)=z^2. Jadi u(x,y)=(y – 2x)^2.
Dalam masalah Cauchy, kurva awal diberikan sebagai gamma(s) = (x0(s), y0(s)). Untuk persamaan quasi linear a*df/dx + b*df/dy = c, syarat awal Cauchy adalah u(gamma(s)) = f0(s). Jika a=1, b=1, c=0, dan kurva awal x0(s)=s, y0(s)=0, f0(s)=s, maka solusi khususnya adalah?
Persamaan df/dx + df/dy = 0. Kurva karakteristik dy/dx=1, sehingga y-x=C1. Solusi umum u=g(y-x). Kondisi awal u(s,0)=g(-s)=s, maka g(z)=-z. Jadi u=-(y-x)=x-y.
Diketahui masalah Cauchy: df/dx + 3*df/dy = 0 dengan kondisi awal u(0,y)= sin y. Solusi khususnya adalah?
Solusi umum u=g(y-3x). Kondisi awal u(0,y)=g(y)= sin y, maka g(z)= sin z. Jadi u(x,y)= sin(y-3x).
Untuk masalah Cauchy: y*df/dx + x*df/dy = 0 dengan kondisi awal u(x,1)=x^2. Solusi khususnya adalah?
Solusi umum u=g(x^2 – y^2). Kondisi awal u(x,1)=g(x^2-1)=x^2, maka g(z)=z+1. Jadi u=(x^2 – y^2)+1 = x^2 – y^2 + 1.
Dalam masalah nilai awal Cauchy untuk persamaan diferensial parsial orde 1, kondisi awal diberikan pada suatu kurva yang disebut kurva awal. Jika kurva awal tersebut menyinggung kurva karakteristik, maka masalah nilai awal Cauchy tersebut akan memiliki solusi yang bersifat…
Ketika kurva awal menyinggung kurva karakteristik, maka kondisi awal tidak cukup untuk menentukan solusi secara unik sehingga terdapat tak hingga banyak solusi.
Model persamaan transport murni dinyatakan sebagai u_t + c u_x = 0. Jika c > 0, maka solusi u(x,t) dari persamaan tersebut pada titik (x,t) akan bernilai sama dengan nilai awal pada titik…
Persamaan transport murni memiliki solusi u(x,t) = f(x – ct), sehingga nilai pada (x,t) sama dengan nilai awal pada x – ct.
Pada model persamaan transport, jika kecepatan konstan c = 2 dan kondisi awal u(x,0) = e^(-x), maka solusi u(x,1) pada titik x = 3 adalah…
Solusi u(x,t) = f(x – ct) dengan f(x) = e^(-x). Untuk x=3, t=1, c=2, x – ct = 3 – 2 = 1, sehingga u = e^(-1).
Persamaan transport u_t + 3 u_x = 0 memiliki solusi umum berbentuk u(x,t) = f(x – 3t). Jika diketahui kondisi awal u(x,0) = sin(x), maka bentuk solusi di titik (x,t) adalah…
Solusi u(x,t) = f(x – 3t) dengan f(x) = sin(x), sehingga u(x,t) = sin(x – 3t).
Dalam model persamaan transport dengan koefisien konstan, jika kecepatan c negatif, maka arah perambatan gelombang adalah ke…
Jika c negatif, maka x – ct = x + |c| t, sehingga gelombang merambat ke kiri.
Model persamaan transport murni u_t + c u_x = 0 termasuk jenis persamaan diferensial parsial orde…
Persamaan transport murni memiliki turunan pertama terhadap t dan x, sehingga termasuk persamaan orde satu.
Model persamaan transport dengan peluruhan dinyatakan sebagai u_t + c u_x = -λ u, dengan λ > 0 adalah konstanta peluruhan. Solusi dari persamaan ini dapat diperoleh dengan menggunakan faktor integrasi. Faktor integrasi yang tepat adalah…
Dengan memisalkan v = u e^(λt), maka persamaan menjadi v_t + c v_x = 0, sehingga faktor integrasi yang digunakan adalah e^(λt).
Diketahui model persamaan transport dengan peluruhan u_t + 4 u_x = -2u. Jika kondisi awal u(x,0) = x^2, maka solusi u(x,t) adalah…
Solusi umum u(x,t) = e^(-λt) f(x – ct). Dengan λ=2, c=4, f(x)=x^2, maka u = e^(-2t) (x – 4t)^2.
Pada model persamaan transport dengan peluruhan, jika λ = 0, maka persamaan akan berubah menjadi…
Jika λ = 0, maka suku peluruhan hilang sehingga persamaan menjadi u_t + c u_x = 0, yaitu persamaan transport murni.
Dalam model persamaan transport dengan peluruhan, pengaruh konstanta λ terhadap solusi adalah…
Suku -λu menyebabkan solusi mengalami peluruhan eksponensial terhadap waktu sehingga amplitudo menurun.
Klasifikasi persamaan diferensial parsial orde 2 berdasarkan determinan matriks koefisien. Untuk persamaan A u_xx + B u_xy + C u_yy = 0, jika determinan D = B^2 – 4AC lebih besar dari nol, maka persamaan tersebut termasuk jenis…
Jika D > 0, persamaan termasuk hiperbolik.
Persamaan u_xx – 2u_xy + u_yy = 0 memiliki determinan D = B^2 – 4AC. Nilai B, A, C berturut-turut adalah -2, 1, 1. Maka D bernilai…
D = B^2 – 4AC = (-2)^2 – 4*1*1 = 4 – 4 = 0.
Jika suatu persamaan diferensial parsial orde 2 memiliki determinan D = 0, maka persamaan tersebut diklasifikasikan sebagai…
Jika D = 0, persamaan termasuk parabolik.
Persamaan u_xx + u_yy = 0 memiliki koefisien A=1, B=0, C=1. Berdasarkan determinan, persamaan ini termasuk jenis…
D = 0^2 – 4*1*1 = -4 < 0, sehingga termasuk eliptik.
Nilai eigen dari suatu matriks digunakan dalam klasifikasi persamaan diferensial parsial orde 2. Jika nilai eigen matriks koefisien semuanya positif, maka persamaan tersebut termasuk…
Nilai eigen positif semua mengindikasikan persamaan eliptik.
Diberikan matriks koefisien [[2,1],[1,2]] untuk suatu persamaan diferensial parsial orde 2. Nilai eigen dari matriks tersebut adalah…
Determinan matriks = 2*2 – 1*1 = 3, trace = 4, sehingga persamaan karakteristik λ^2 – 4λ + 3 = 0, akar-akarnya λ = 1 dan 3.
Jika matriks koefisien memiliki nilai eigen campuran positif dan negatif, maka persamaan diferensial parsial orde 2 termasuk jenis…
Nilai eigen campuran (satu positif, satu negatif) mengindikasikan persamaan hiperbolik.
Diketahui matriks koefisien dari suatu PDP orde 2 adalah A = [[1, 0], [0, 4]]. Nilai eigen dari matriks A adalah…
Nilai eigen matriks diagonal A diperoleh dari elemen diagonalnya, yaitu 1 dan 4.
Diketahui matriks koefisien PDP orde 2 adalah A = [[3, 1], [1, 3]]. Nilai eigen matriks tersebut adalah…
Persamaan karakteristik (3 – lambda)^2 – 1 = 0 menghasilkan lambda^2 – 6 lambda + 8 = 0, sehingga lambda = 2 dan 4.
Suatu PDP orde 2 memiliki matriks koefisien A dengan nilai eigen lambda1 > 0 dan lambda2 < 0. Berdasarkan klasifikasi dengan nilai eigen, PDP tersebut termasuk jenis…
Jika nilai eigen matriks A memiliki tanda berbeda (satu positif dan satu negatif), PDP diklasifikasikan sebagai hiperbolik.
Suatu PDP orde 2 memiliki matriks koefisien A dengan nilai eigen lambda1 = 0 dan lambda2 = 5. Klasifikasi PDP tersebut adalah…
Jika salah satu nilai eigen matriks A adalah nol, PDP diklasifikasikan sebagai parabolik.
Diketahui matriks koefisien PDP orde 2 adalah A = [[2, 0], [0, 2]]. Berdasarkan nilai eigen, klasifikasi PDP tersebut adalah…
Nilai eigen matriks A adalah keduanya positif (2 dan 2), sehingga PDP diklasifikasikan sebagai eliptik.
Suatu bentuk normal PDP hiperbolik orde 2 dinyatakan sebagai u_xy + … = 0. Suku berikutnya yang paling umum ditemukan adalah…
Bentuk normal hiperbolik umum adalah u_xy = f(x,y,u,u_x,u_y). Suku tanpa turunan atau suku sumber sering muncul.
Bentuk normal PDP hiperbolik adalah u_xi eta = 0. Solusi umum dari persamaan ini adalah…
Persamaan u_xi eta = 0 diintegralkan terhadap xi menghasilkan u_eta = f(eta), kemudian diintegralkan terhadap eta menghasilkan u = f(xi) + g(eta).
Transformasi koordinat untuk mereduksi PDP hiperbolik ke bentuk normal melibatkan variabel karakteristik xi dan eta. Persamaan karakteristik yang digunakan adalah…
Untuk PDP hiperbolik, persamaan karakteristik dy/dx = lambda1 dan dy/dx = lambda2 menghasilkan dua kurva karakteristik yang berbeda.
Suatu PDP hiperbolik memiliki bentuk normal u_uv = u. Jika u = e^(av + bu) adalah salah satu solusi, maka nilai a dan b yang mungkin adalah…
Substitusi u = e^(av + bu) ke u_uv = u menghasilkan a b e^(av + bu) = e^(av + bu), jadi a b = 1. Kombinasi a = 1 dan b = 1 memenuhi.
Bentuk normal PDP parabolik orde 2 adalah u_xi xi + … = 0. Bentuk paling sederhana dari bentuk normal parabolik adalah…
Bentuk normal parabolik memiliki satu turunan kedua dominan, yaitu u_xi xi. Suku lainnya berupa turunan pertama atau suku sumber.
Persamaan konduksi panas satu dimensi u_t = k u_xx termasuk jenis parabolik. Bentuk normalnya dapat dinyatakan sebagai…
Melalui transformasi koordinat yang tepat, persamaan panas dapat direduksi ke bentuk normal u_xi xi = u_eta.
Dalam mereduksi PDP parabolik ke bentuk normal, salah satu variabel karakteristik diperoleh dari persamaan diferensial biasa orde 2 dengan akar ganda. Jumlah kurva karakteristik yang dihasilkan adalah…
Pada PDP parabolik, persamaan karakteristik memiliki akar ganda sehingga hanya menghasilkan satu kurva karakteristik.
Bentuk normal PDP parabolik sering digunakan untuk menyelesaikan masalah difusi. Variabel yang muncul dalam bentuk normal biasanya disebut…
Variabel dalam bentuk normal biasanya dinotasikan sebagai xi dan eta untuk membedakannya dari koordinat asli.
Suatu PDP eliptik orde 2 memiliki bentuk normal u_xi xi + u_eta eta + … = 0. Bentuk normal eliptik yang paling terkenal adalah…
Persamaan Laplace u_xx + u_yy = 0 adalah bentuk normal eliptik yang paling terkenal dan sering dipelajari.
Transformasi koordinat untuk mereduksi PDP eliptik ke bentuk normal melibatkan akar kompleks pada persamaan karakteristik. Akar tersebut berbentuk…
Pada PDP eliptik, persamaan karakteristik menghasilkan akar kompleks konjugat, yaitu lambda1 = a + bi dan lambda2 = a – bi.
Bentuk normal PDP eliptik dengan suku sumber adalah u_xx + u_yy = f(x,y). Persamaan ini dikenal sebagai…
Persamaan Poisson adalah persamaan eliptik dengan suku sumber, yaitu u_xx + u_yy = f(x,y).
Dalam bentuk normal eliptik, sifat solusi umumnya adalah…
Solusi persamaan eliptik seperti Laplace atau Poisson umumnya bersifat harmonik, yaitu fungsi yang memenuhi sifat analitik.
Persamaan diferensial parsial d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0 jika diintegralkan langsung terhadap x sebanyak dua kali menghasilkan bentuk umum yang mengandung fungsi sembarang. Jika u(x,y) = f(x) + g(y) setelah pengintegralan, maka langkah pertama yang tepat adalah mengintegralkan terhadap x dengan menganggap y konstan, sehingga diperoleh du/dx = sesuatu. Apa yang dimaksud dengan 'sesuatu' tersebut?
Mengintegralkan d^2u/dx^2 terhadap x menghasilkan du/dx = A(y) karena turunan parsial terhadap x dan y dianggap konstan.
Diberikan persamaan diferensial parsial d^2u/dxdy = 0. Metode pengintegralan langsung dapat digunakan. Jika diintegralkan terhadap y terlebih dahulu, maka hasil du/dx adalah?
Integralkan terhadap y, sehingga du/dx = f(x) karena turunan terhadap y hilang dan muncul fungsi sembarang dari x.
Persamaan d^2u/dx^2 = 6x dengan syarat batas u(0,y)=y dan du/dx(0,y)=0 akan menghasilkan solusi khusus. Setelah diintegralkan dua kali terhadap x, bentuk u(x,y) adalah?
Integral pertama du/dx = 3x^2 + A(y), integral kedua u = x^3 + xA(y) + B(y). Syarat u(0,y)=y memberi B(y)=y, du/dx(0,y)=0 memberi A(y)=0. Jadi u = x^3 + y.
Jika diberikan d^2u/dy^2 = 2, maka dengan pengintegralan langsung terhadap y, bentuk umum u(x,y) adalah?
Integral pertama du/dy = 2y + f(x), integral kedua u = y^2 + yf(x) + g(x).
Dalam metode pemisalan eksponensial, solusi u(x,t) dimisalkan berbentuk e^(ax + bt). Jika diberikan persamaan du/dt + 3 du/dx = 0, maka hubungan antara a dan b adalah?
Substitusi u = e^(ax+bt) ke persamaan: b e^(ax+bt) + 3a e^(ax+bt) = 0 sehingga b + 3a = 0.
Diberikan persamaan diferensial parsial d^2u/dx^2 – d^2u/dt^2 = 0. Dengan pemisalan eksponensial u = e^(ax+bt), maka hubungan antara a dan b yang memenuhi adalah?
Turunan kedua: d^2u/dx^2 = a^2 u, d^2u/dt^2 = b^2 u. Substitusi memberi a^2 u – b^2 u = 0, jadi a^2 – b^2 = 0.
Persamaan du/dt = 4 d^2u/dx^2 dengan pemisalan eksponensial u = e^(ax+bt) akan menghasilkan hubungan. Jika b = 4a^2, maka nilai a yang memenuhi untuk solusi nontrivial adalah?
Substitusi u = e^(ax+bt) menghasilkan b e^(ax+bt) = 4a^2 e^(ax+bt) sehingga b = 4a^2. Untuk setiap a real, b terdefinisi, dan solusi nontrivial ada untuk semua a.
Dalam metode pemisalan eksponensial, solusi umum persamaan d^2u/dx^2 – 3 du/dx = 0 adalah kombinasi linear dari bentuk eksponensial. Akar karakteristik dari persamaan tersebut adalah?
Misal u = e^(rx), maka r^2 – 3r = 0, faktor r(r-3)=0, akar r=0 dan r=3.
Metode pemisahan peubah digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan memisalkan u(x,t) = X(x)T(t). Untuk persamaan d^2u/dx^2 = d^2u/dt^2, setelah pemisahan diperoleh X''/X = T''/T = k. Jika k = 0, maka bentuk solusi untuk X(x) adalah?
Jika k = 0, maka X'' = 0, integral dua kali menghasilkan X = Ax + B.
Diberikan persamaan du/dt = d^2u/dx^2. Dengan pemisahan peubah u = X(x)T(t), diperoleh T'/T = X''/X = k. Jika k = -lambda^2 dengan lambda positif, maka solusi X(x) adalah?
X''/X = -lambda^2, sehingga X'' + lambda^2 X = 0, solusi umum berupa kombinasi sinus dan kosinus.
Persamaan u_xx = u_tt dengan syarat batas u(0,t)=0 dan u(L,t)=0 dapat diselesaikan dengan pemisahan peubah. Untuk kasus k = -lambda^2, syarat batas pada X(x) menghasilkan lambda = n pi/L. Bentuk solusi X_n(x) yang memenuhi adalah?
Syarat batas X(0)=0 dan X(L)=0 pada X'' + lambda^2 X = 0 menghasilkan solusi sinus dengan lambda = n pi/L.
Dalam pemisahan peubah, persamaan du/dx = du/dt dengan u = X(x)T(t) menghasilkan X'/X = T'/T = k. Jika k = 2, maka solusi u(x,t) adalah?
X'/X = 2, integral menghasilkan X = C e^(2x). T'/T = 2, integral menghasilkan T = D e^(2t). Jadi u = A e^(2x+2t) dengan A = CD.
Persamaan gelombang satu dimensi d^2u/dt^2 = c^2 d^2u/dx^2 memiliki penyelesaian umum berbentuk u(x,t) = f(x+ct) + g(x-ct). Fungsi f dan g mewakili?
f(x+ct) mewakili gelombang merambat ke kiri dan g(x-ct) ke kanan dengan kecepatan c.
Untuk persamaan gelombang u_tt = 9 u_xx, jika bentuk gelombang awal diberikan u(x,0) = sin x dan u_t(x,0) = 0, maka solusi menggunakan d'Alembert adalah?
Rumus d'Alembert: u = (f(x+ct)+f(x-ct))/2 dengan c=3 dan f(x)=sin x, maka u = (sin(x+3t)+sin(x-3t))/2.
Persamaan gelombang tak-homogen u_tt = c^2 u_xx + F(x,t) dapat diselesaikan dengan prinsip superposisi. Solusi total adalah jumlah dari solusi homogen dan solusi partikular. Jika solusi homogen memenuhi persamaan gelombang biasa, maka solusi partikular diperoleh dengan?
Solusi partikular persamaan tak-homogen sering diperoleh dengan metode variasi parameter atau integral Green untuk menangani suku sumber F(x,t).
Diberikan persamaan gelombang u_tt = 4 u_xx dengan kondisi awal u(x,0) = x^2 dan u_t(x,0) = 0. Solusi d'Alembert untuk kasus ini adalah u(x,t) = ( (x+2t)^2 + (x-2t)^2 )/2. Bentuk sederhana dari solusi tersebut adalah?
(x+2t)^2 + (x-2t)^2 = x^2 + 4xt + 4t^2 + x^2 – 4xt + 4t^2 = 2x^2 + 8t^2. Dibagi 2 menghasilkan x^2 + 4t^2.
Dalam metode d'Alembert untuk menyelesaikan persamaan gelombang u_tt = a^2 u_xx dengan kondisi awal u(x,0)=f(x) dan u_t(x,0)=g(x), solusi umumnya adalah u(x,t) = …
Rumus d'Alembert memberikan solusi persamaan gelombang dengan suku pertama dari kondisi awal perpindahan dan suku kedua dari kondisi awal kecepatan, dikalikan faktor 1/(2a).
Diberikan persamaan gelombang u_tt = 4 u_xx dengan kondisi awal u(x,0)=sin x dan u_t(x,0)=0. Solusi menggunakan metode d'Alembert adalah u(x,t) = …
Gunakan konstanta a=2 dari a^2=4. Substitusikan f(x)=sin x dan g(x)=0 ke rumus d'Alembert, menghasilkan (f(x-at)+f(x+at))/2.
Jika persamaan gelombang u_tt = u_xx memiliki kondisi awal u(x,0)=x^2 dan u_t(x,0)=0, maka solusi u(x,t) adalah …
Dengan a=1, rumus d'Alembert memberikan ((x-t)^2+(x+t)^2)/2 = (x^2-2xt+t^2+x^2+2xt+t^2)/2 = x^2+t^2.
Penyelesaian masalah nilai awal Cauchy untuk persamaan gelombang u_tt = a^2 u_xx dengan kondisi awal u(x,0)=0 dan u_t(x,0)=x adalah u(x,t) = …
Dengan f=0 dan g(s)=s, maka integral dari (x-at) ke (x+at) g(s) ds = (x+at)^2 – (x-at)^2 dibagi 2 = 2xat, lalu dikalikan 1/(2a) menghasilkan xt.
Persamaan gelombang tak-homogen u_tt – a^2 u_xx = F(x,t) dengan kondisi awal nol dapat diselesaikan menggunakan metode …
Metode Duhamel digunakan untuk mengubah masalah tak-homogen menjadi integral dari masalah homogen dengan sumber impuls.
Untuk persamaan gelombang tak-homogen u_tt – u_xx = sin x, dengan kondisi awal nol, solusi u(x,t) dapat dinyatakan sebagai integral yang melibatkan fungsi …
Dengan prinsip Duhamel, solusi homogen dengan sumber impuls 1 pada waktu tau menghasilkan sin(x) sin(t-tau), sehingga integral terhadap tau menghasilkan sin(x) (1-cos(t)).
Penyelesaian persamaan gelombang tak-homogen u_tt = 4 u_xx + e^t dengan kondisi awal nol menggunakan metode Duhamel menghasilkan fungsi yang mengandung suku …
Karena sumber F(t) = e^t konstan terhadap x, solusi homogen dengan sumber 1 menghasilkan konstanta, sehingga integral dari 0 ke t e^tau dtau = e^t – 1.
Jika persamaan gelombang tak-homogen u_tt – a^2 u_xx = 0 dengan kondisi awal u(x,0)=0 dan u_t(x,0)=h(x), maka solusinya dapat ditulis sebagai integral yang melibatkan …
Ini adalah masalah homogen dengan kondisi awal kecepatan, sehingga solusinya adalah 1/(2a) integral dari x-at ke x+at h(s) ds.
Penyelesaian umum persamaan panas u_t = k u_xx menggunakan metode pemisahan peubah menghasilkan solusi berbentuk u(x,t) = X(x) T(t). Persamaan untuk T(t) adalah …
Substitusi u=XT ke persamaan panas memberikan X T' = k X'' T, sehingga T'/(kT) = X''/X = -lambda. Jadi T' + k lambda T = 0.
Dari model persamaan panas, solusi untuk T(t) dengan lambda > 0 akan berbentuk fungsi …
Dari T' + k lambda T = 0, solusinya T(t) = C e^{-k lambda t}, yang menurun secara eksponensial terhadap waktu.
Pada model persamaan panas satu dimensi dengan suhu awal f(x) pada batang 0<x<L dan suhu ujung tetap 0, solusi deret Fourier menggunakan basis fungsi eigen yang berasal dari masalah …
Masalah Sturm-Liouville menghasilkan fungsi eigen yang ortogonal, digunakan dalam ekspansi deret Fourier untuk solusi persamaan panas.
Jika persamaan panas u_t = u_xx pada batang 0<x<pi dengan kondisi batas u(0,t)=0, u(pi,t)=0 dan kondisi awal u(x,0)=sin x, maka solusi u(x,t) adalah …
Dengan pemisahan peubah, lambda=1, maka solusi X(x)=sin x dan T(t)=e^{-t}, sehingga u = e^{-t} sin x.
Pada persamaan panas, jika lambda=0 maka solusi untuk X(x) akan berbentuk …
Untuk lambda=0, persamaan X''=0 memiliki solusi umum X(x)=Ax+B, yang berbentuk linear.
Penyelesaian masalah nilai awal Cauchy untuk persamaan panas u_t = k u_xx di seluruh garis real dengan kondisi awal u(x,0)=f(x) diberikan oleh integral konvolusi dengan kernel …
Kernel panas atau solusi fundamental adalah fungsi Gauss: G(x,t)= 1/(akar(4 pi k t)) e^{(-x^2/(4kt))}.
Fungsi Green atau kernel untuk persamaan panas pada garis real adalah G(x,t) = 1/(akar(4 pi k t)) e^{-x^2/(4kt)}. Integral dari -tak hingga ke tak hingga G(x,t) dx untuk t>0 sama dengan …
Kernel panas dinormalisasi sehingga integralnya 1, karena merupakan distribusi probabilitas Gauss.
Dengan menggunakan solusi fundamental persamaan panas, solusi masalah Cauchy untuk u_t = u_xx dengan u(x,0)=delta(x) adalah …
Solusi fundamental adalah kernel panas dengan k=1, yaitu 1/(akar(4 pi t)) e^{-x^2/(4t)} yang memenuhi kondisi awal delta Dirac.
Klasifikasi persamaan orde dua itu bagian yang paling sering bikin mahasiswa UT keliru. Bedain hiperbolik, parabolik, sama eliptik lewat determinan kadang malah bikin pusing sendiri kalau belum hafal.
Kalau sudah paham klasifikasi, bentuk normal di Modul 05 jadi jauh lebih mudah. Coba cek ulang jawabanmu untuk soal nilai eigen di Modul 04. Ada banyak prediksi soal UAS UT lain di sini kalau kamu mau lanjut latihan topik serupa.
Di UAS nanti biasanya ada satu soal besar dari Modul 06 atau Modul 07 yang nguji metode pemisahan peubah. MATA4403 Persamaan Diferensial Parsial sering mengombinasikan konsep dari beberapa modul jadi satu, misalnya bentuk normal parabolik diterapin ke persamaan panas. Kalau sudah yakin sama jawabanmu soal gelombang di Modul 07, lanjut deh cek pembahasan lengkap Soal UAS UT yang lain.
