Bayesian bikin kepala berat. Bolak-balik Modul 4 tentang Teorema Bayes Probabilitas Diskret masih juga bingung. Padahal Modul 5 soal Inferensi Bayesian Distribusi Normal juga menanti. Kamu perlu latihan yang bukan cuma baca modul. Di soal UT Statistika ini, kami siapkan soal-soal yang langsung menguji pemahamanmu.
STIK4352 Inferensi Bayesian sering menjebak di bagian perhitungan. Modul 2 tentang Variabel Random Diskret dan Kontinu adalah fondasinya. Kalau nilai harapan belum lancar, distribusi posterior di Modul 5 bisa berantakan. Itu klasik.
Di halaman ini, soal UAS-nya sudah mencakup topik-topik itu. Dari probabilitas bersyarat sampai pohon keputusan Modul 7. Semua dilengkapi kunci jawaban dan pembahasan langkah demi langkah. Mau lebih banyak variasi? Lihat bank soal UAS UT kami.
Soal UT STIK4352 Inferensi Bayesian
Seorang peneliti melempar sebuah dadu bersisi enam yang setimbang satu kali. Ia mendefinisikan kejadian A sebagai munculnya mata dadu genap dan kejadian B sebagai munculnya mata dadu lebih dari 2. Gabungan A ∪ B sebagai subhimpunan ruang sampel beranggotakan…
Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}. A = {2,4,6}, B = {3,4,5,6}, sehingga A ∪ B = {2,3,4,5,6}.
Ketika sebuah percobaan acak memiliki ruang sampel S, istilah yang tepat untuk menyebut tiap elemen individu dalam S adalah…
Titik sampel adalah setiap anggota atau elemen individu dari ruang sampel. Kejadian merupakan subhimpunan yang terdiri atas satu atau lebih titik sampel.
Dalam suatu percobaan, terdapat ruang sampel S dan dua kejadian A dan B yang merupakan subhimpunan dari S. Jika A dan B saling lepas, maka pernyataan yang benar adalah…
Dua kejadian saling lepas berarti tidak memiliki titik sampel bersama, sehingga irisannya kosong dan probabilitas irisannya nol.
Probabilitas suatu kejadian A didefinisikan sebagai ukuran kuantitatif yang menyatakan derajat keyakinan terjadinya A. Batasan nilai probabilitas yang selalu berlaku adalah…
Probabilitas adalah ukuran antara 0 dan 1 inklusif, di mana 0 berarti mustahil dan 1 berarti pasti terjadi.
PT Maju Jaya mencatat bahwa peluang sebuah mesin rusak adalah 0,1. Jika terdapat dua mesin identik yang bekerja secara independen, peluang bahwa tepat satu mesin rusak adalah…
Peluang tepat satu rusak = P(rusak, baik) + P(baik, rusak) = (0,1)(0,9) + (0,9)(0,1) = 0,09 + 0,09 = 0,18.
Suatu ruang sampel memiliki titik sampel berhingga dan setiap titik sampel memiliki peluang yang sama besar. Jika banyaknya titik sampel adalah n dan suatu kejadian A memuat k titik sampel, maka P(A) dinyatakan sebagai…
Pada ruang sampel dengan titik sampel berpeluang sama, probabilitas kejadian A adalah banyaknya elemen A dibagi banyaknya seluruh elemen ruang sampel, yaitu k/n.
Dalam sebuah survei kesehatan, diketahui bahwa probabilitas seseorang merokok adalah 0,3 dan probabilitas seseorang terkena penyakit paru dengan syarat ia merokok adalah 0,15. Probabilitas seseorang merokok dan terkena penyakit paru adalah…
Menggunakan aturan perkalian, P(merokok ∩ sakit) = P(sakit|merokok) × P(merokok) = 0,15 × 0,3 = 0,045.
Dua kejadian A dan B dikatakan independen jika terpenuhi kondisi…
Independensi berarti terjadinya B tidak memengaruhi peluang A, yang secara matematis dinyatakan sebagai P(A|B) = P(A). Pilihan lain menggambarkan kejadian saling lepas atau aturan penjumlahan.
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Dua bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Probabilitas bola pertama merah dan bola kedua biru adalah…
Pengambilan tanpa pengembalian membuat kejadian tidak independen. P(merah pertama) = 5/8, setelah itu tersisa 7 bola dengan 3 biru, sehingga P(biru kedua | merah pertama) = 3/7. Hasil kali keduanya menghasilkan jawaban.
Probabilitas bersyarat P(A|B) didefinisikan sebagai P(A ∩ B) / P(B). Syarat agar definisi ini berlaku adalah…
Definisi probabilitas bersyarat mensyaratkan P(B) > 0 agar pembagian terdefinisi, tanpa syarat independensi atau saling lepas.
Sebuah pabrik memproduksi komponen dengan probabilitas cacat 0,05. Jika diambil 3 komponen secara acak dan independen, probabilitas bahwa tidak ada yang cacat adalah…
Probabilitas satu komponen baik adalah 0,95. Karena pengambilan independen, probabilitas ketiganya baik adalah 0,95 × 0,95 × 0,95 = 0,95^3.
Diketahui P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, dan P(A ∩ B) = 0,3. Nilai P(A|B) dan status kejadian A dan B yang tepat adalah…
P(A|B) = 0,3 / 0,5 = 0,6. Karena P(A|B) ≠ P(A) = 0,4, maka A dan B tidak independen.
Variabel random diskret X memiliki fungsi massa probabilitas p(x) = P(X = x). Jika X hanya dapat bernilai 0, 1, 2, 3, maka sifat yang wajib dipenuhi p(x) adalah…
Fungsi massa probabilitas harus non-negatif untuk setiap nilai x dan jumlah seluruh probabilitasnya sama dengan satu.
Diberikan fungsi massa probabilitas X: p(0)=0,2, p(1)=0,3, p(2)=0,4, p(3)=0,1. Fungsi distribusi kumulatif F(2) bernilai…
F(2) = P(X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9. Fungsi distribusi kumulatif menjumlahkan probabilitas hingga nilai yang ditentukan.
Fungsi distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random diskret bersifat…
Fungsi distribusi kumulatif diskret bersifat konstan di antara dua nilai variabel berurutan dan melompat naik di titik nilai variabel yang memiliki massa probabilitas.
Seorang manajer logistik mengamati jumlah truk yang tiba di gudang setiap jam. Ia memodelkan jumlah kedatangan truk per jam sebagai variabel random X dengan fungsi massa probabilitas: p(0)=0,1, p(1)=0,3, p(2)=0,4, p(3)=0,2. Rata-rata jumlah truk yang tiba per jam adalah…
Nilai harapan E[X] = Σ x·p(x) = 0(0,1) + 1(0,3) + 2(0,4) + 3(0,2) = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.
Perbedaan utama antara fungsi massa probabilitas untuk variabel diskret dan fungsi densitas probabilitas untuk variabel kontinu adalah…
Untuk variabel diskret, p(x) langsung memberikan probabilitas P(X=x). Untuk variabel kontinu, f(x) bukan probabilitas melainkan densitas, dan probabilitas dihitung sebagai integral f(x) pada interval tertentu.
Fungsi massa probabilitas p(x) dari suatu variabel random diskret X memiliki sifat utama yang membedakannya dari fungsi densitas probabilitas variabel kontinu, yaitu…
Fungsi massa probabilitas pada variabel diskret memberikan probabilitas tepat pada titik x, sedangkan fungsi densitas pada variabel kontinu memerlukan integral untuk menghasilkan probabilitas karena P(X = x) = 0 pada kasus kontinu.
Seorang analis data memodelkan waktu tunggu pelanggan di sebuah restoran cepat saji sebagai variabel random kontinu X dengan fungsi densitas f(x) = 2e^{-2x} untuk x > 0. Probabilitas seorang pelanggan menunggu lebih dari 1 menit adalah…
Probabilitas P(X > 1) = ∫_{1}^{∞} 2e^{-2x} dx = [-e^{-2x}]_{1}^{∞} = e^{-2}. Integral fungsi densitas dari batas bawah ke tak hingga memberikan probabilitas kumulatif di ekor kanan.
Variabel random kontinu X memiliki fungsi densitas f(x) = 3x^2 untuk 0 < x < 1. Nilai harapan E[X] adalah…
E[X] = ∫_{0}^{1} x ⋅ 3x^2 dx = ∫_{0}^{1} 3x^3 dx = [3x^4/4]_{0}^{1} = 3/4. Nilai harapan variabel kontinu dihitung sebagai integral x dikalikan fungsi densitas pada seluruh domain.
Diketahui variabel random kontinu X memiliki fungsi densitas f(x) = (1/θ) e^{-x/θ} untuk x > 0 dan θ > 0. Jika E[X] = 5, maka variansi Var(X) adalah…
Distribusi tersebut adalah eksponensial dengan parameter laju λ = 1/θ. Untuk distribusi eksponensial, E[X] = θ dan Var(X) = θ^2. Karena E[X] = 5 maka θ = 5, sehingga Var(X) = 25.
Perusahaan logistik mencatat volume bahan bakar (dalam liter) yang digunakan truk pengantar per hari sebagai variabel random kontinu X dengan fungsi densitas f(x) = (1/200) untuk 100 < x < 300. Variansi pemakaian bahan bakar harian adalah…
Distribusi seragam kontinu pada [100, 300] memiliki variansi Var(X) = (b – a)^2 / 12 = (200)^2 / 12 = 40000/12 ≈ 3333,33 liter kuadrat.
Seorang mahasiswa mengamati bahwa suatu variabel random kontinu X memiliki E[X] = 4 dan E[X^2] = 25. Variansi X yang tepat adalah…
Var(X) = E[X^2] – (E[X])^2 = 25 – 4^2 = 25 – 16 = 9. Rumus ini berlaku untuk variabel diskret maupun kontinu sebagai definisi variansi yang setara dengan E[(X – μ)^2].
Perbedaan mendasar antara nilai harapan dan variansi suatu variabel random adalah…
Nilai harapan merupakan ukuran tendensi sentral yang menunjukkan pusat distribusi, sedangkan variansi mengukur dispersi atau sebaran data di sekitar nilai harapan. Keduanya memiliki peran berbeda dalam mendeskripsikan distribusi.
Dua variabel random diskret X dan Y memiliki distribusi gabungan p(x,y). Distribusi marginal X diperoleh dengan cara…
Distribusi marginal X, yaitu p_X(x), diperoleh dengan menjumlahkan distribusi gabungan terhadap semua kemungkinan nilai Y, secara matematis p_X(x) = Σ_y p(x,y). Ini menghilangkan ketergantungan pada Y.
Diberikan distribusi gabungan dua variabel random X dan Y sebagai berikut: p(0,0)=0,1, p(0,1)=0,2, p(1,0)=0,3, p(1,1)=0,4. Distribusi marginal p_Y(1) bernilai…
p_Y(1) = p(0,1) + p(1,1) = 0,2 + 0,4 = 0,6. Distribusi marginal diperoleh dengan menjumlahkan probabilitas gabungan pada seluruh nilai X untuk Y yang ditetapkan.
Distribusi bersyarat X diberikan Y = y didefinisikan sebagai p(x|y) = p(x,y) / p_Y(y). Syarat yang harus dipenuhi agar definisi ini berlaku adalah…
Probabilitas bersyarat hanya terdefinisi jika kejadian yang menjadi syarat memiliki probabilitas positif. Jika p_Y(y) = 0, pembagian tidak terdefinisi sehingga distribusi bersyarat tidak berlaku.
Peneliti mengamati dua variabel random kontinu X dan Y dengan fungsi densitas gabungan f(x,y) = 6xy^2 untuk 0 < x < 1 dan 0 < y < 1. Fungsi densitas marginal f_X(x) adalah…
f_X(x) = ∫_{0}^{1} 6xy^2 dy = 6x ∫_{0}^{1} y^2 dy = 6x [y^3/3]_{0}^{1} = 6x (1/3) = 2x untuk 0 < x < 1. Integrasi terhadap y menghilangkan variabel y dari distribusi marginal X.
Dua variabel random X dan Y dikatakan independen jika dan hanya jika…
Independensi variabel random didefinisikan melalui faktorisasi distribusi gabungan menjadi perkalian distribusi marginalnya. Kovarians nol atau E[XY] = E[X]E[Y] adalah konsekuensi independensi, bukan definisi yang ekuivalen dua arah.
Dalam suatu pabrik, banyaknya cacat produk A (X) dan produk B (Y) memiliki distribusi gabungan dengan E[X]=2, E[Y]=3, E[XY]=5. Kovarians antara X dan Y adalah…
Cov(X,Y) = E[XY] – E[X]E[Y] = 5 – (2)(3) = 5 – 6 = -1. Kovarians negatif menunjukkan hubungan berlawanan arah antara kedua variabel.
Harga harapan bersyarat E[Y|X=x] merupakan fungsi dari x yang menyatakan…
E[Y|X=x] adalah ekspektasi Y dengan syarat X diketahui bernilai x. Ini merupakan fungsi dari x yang memberikan nilai harapan Y pada subpopulasi di mana X = x.
Hukum total harapan menyatakan bahwa E[Y] dapat dihitung melalui…
Hukum total harapan menyatakan E[Y] = E[E[Y|X]], yaitu rata-rata dari seluruh harapan bersyarat Y diberikan X. Ini diperoleh dengan merata-ratakan E[Y|X=x] terhadap distribusi X.
Seorang ekonom menghitung ekspektasi bersyarat pendapatan (Y) berdasarkan tingkat pendidikan (X). Jika E[Y|X=12] = 5 juta, E[Y|X=16] = 8 juta, dan proporsi X=12 adalah 0,6, maka E[Y] berdasarkan hukum total harapan adalah…
E[Y] = E[Y|X=12] P(X=12) + E[Y|X=16] P(X=16) = 5(0,6) + 8(0,4) = 3 + 3,2 = 6,2 juta. Hukum total harapan merata-ratakan harapan bersyarat dengan bobot probabilitas masing-masing kondisi.
Teorema limit pusat menyatakan bahwa untuk sampel acak berukuran n dari populasi dengan variansi hingga, distribusi rata-rata sampel akan mendekati distribusi normal ketika…
Teorema limit pusat berlaku tanpa mensyaratkan distribusi populasi awal, selama variansinya hingga dan ukuran sampel n membesar. Kenormalan rata-rata sampel muncul sebagai sifat asimtotik, bukan karena populasi awal normal.
Teorema limit pusat menyatakan bahwa untuk sampel acak berukuran n dari populasi dengan variansi hingga, distribusi rata-rata sampel akan mendekati distribusi normal ketika…
Teorema limit pusat berlaku ketika ukuran sampel n membesar menuju tak hingga, tanpa mensyaratkan distribusi populasi harus normal.
Seorang analis keuangan menghitung ekspektasi pendapatan bersyarat berdasarkan sektor industri. Jika E[Y|X=A] = 12 miliar, E[Y|X=B] = 8 miliar, E[Y|X=C] = 15 miliar, dan masing-masing sektor memiliki probabilitas 0,3, 0,5, dan 0,2, maka E[Y] berdasarkan hukum total harapan adalah…
E[Y] = 12(0,3) + 8(0,5) + 15(0,2) = 3,6 + 4,0 + 3,0 = 10,6 miliar.
Teorema Bayes menghubungkan tiga komponen utama yaitu prior, likelihood, dan posterior. Bentuk umum teorema Bayes untuk parameter diskret θ dan data X dinyatakan sebagai…
Teorema Bayes menyatakan posterior sebanding dengan likelihood dikali prior dibagi probabilitas marginal data, yaitu P(θ|X) = P(X|θ)P(θ) / P(X).
Dalam inferensi Bayesian, komponen yang merepresentasikan keyakinan awal peneliti tentang parameter sebelum mengamati data disebut…
Prior adalah distribusi probabilitas parameter yang mencerminkan keyakinan atau informasi sebelum data diamati.
Sebuah perusahaan teknologi ingin mendeteksi email spam. Diketahui probabilitas sebuah email adalah spam P(S)=0,2. Jika email adalah spam, probabilitas mengandung kata "diskon" adalah P(K|S)=0,9. Jika bukan spam, probabilitas mengandung kata "diskon" adalah P(K|S^c)=0,1. Jika sebuah email mengandung kata "diskon", probabilitas email tersebut spam adalah…
P(S|K) = P(K|S)P(S) / [P(K|S)P(S) + P(K|S^c)P(S^c)] = (0,9×0,2)/[(0,9×0,2)+(0,1×0,8)] = 0,18/(0,18+0,08) = 0,18/0,26 ≈ 0,692.
Likelihood dalam teorema Bayes didefinisikan sebagai…
Likelihood adalah P(X|θ), yaitu probabilitas data yang diamati dengan syarat parameter tertentu, dipandang sebagai fungsi dari parameter.
Sebuah klinik menggunakan tes cepat untuk mendeteksi suatu penyakit. Probabilitas seseorang terjangkit penyakit adalah 0,01. Sensitivitas tes adalah 0,95 dan spesifisitas tes adalah 0,90. Jika seorang pasien mendapat hasil positif, probabilitas ia benar-benar terjangkit penyakit adalah…
P(Sakit|Pos) = (0,95×0,01)/[(0,95×0,01)+(0,10×0,99)] = 0,0095/(0,0095+0,099) = 0,0095/0,1085 ≈ 0,088.
Dalam kerangka Bayesian, perbedaan utama antara prior dan posterior terletak pada…
Prior mencerminkan keyakinan tentang parameter sebelum melihat data, sedangkan posterior adalah pembaruan keyakinan tersebut setelah mengamati data.
Distribusi Poisson sering digunakan untuk memodelkan…
Distribusi Poisson memodelkan banyaknya kejadian diskret yang terjadi dalam interval waktu atau ruang tetap, dengan asumsi laju rata-rata kejadian konstan.
Prior konjugat untuk parameter laju λ pada distribusi Poisson adalah…
Distribusi Gamma merupakan prior konjugat untuk likelihood Poisson karena menghasilkan posterior yang juga berdistribusi Gamma.
PT Logistik Nusantara mencatat rata-rata 3 truk tiba di gudang setiap jam. Jika kedatangan truk mengikuti distribusi Poisson, dan manajer menggunakan prior Gamma(α=2, β=1) untuk laju kedatangan λ, maka posterior setelah mengamati 15 kedatangan dalam 5 jam adalah…
Posterior Gamma memiliki parameter α_post = α + Σx_i = 2 + 15 = 17, dan β_post = β + n = 1 + 5 = 6.
Distribusi ramalan (predictive distribution) dalam inferensi Bayesian berfungsi untuk…
Distribusi ramalan memberikan probabilitas untuk data observasi baru dengan mengintegralkan likelihood terhadap distribusi posterior parameter, sehingga tidak bergantung pada nilai parameter tertentu.
Seorang peneliti mengamati 4 kecelakaan kerja dalam 2 bulan di sebuah pabrik. Ia menggunakan prior Gamma(α=3, β=2) untuk laju kecelakaan bulanan λ. Distribusi ramalan untuk banyaknya kecelakaan pada bulan berikutnya adalah…
Distribusi ramalan posterior untuk Poisson-Gamma adalah Binomial Negatif dengan r = α_post = 3+4=7 dan p = β_post/(β_post+1) = (2+2)/(2+2+1) = 4/5 = 0,8 → tunggu, hitung ulang: α_post=7, β_post=4, maka mean posterior λ = 7/4 = 1,75 per bulan, predictive NegBin(r=7, p=β_post/(β_post+1)=4/5=0,8). Koreksi: predictive mean = α_post/β_post × 1 bulan = 7/4 = 1,75. Opsi paling sesuai dengan r=7 dan p=4/5=0,8 tidak tersedia. Mari periksa: opsi B menyebut r=7 p=0,333. Ada kesalahan konsep pada soal. Alternatif: predictive untuk satu observasi Poisson dengan prior Gamma adalah Beta-Binomial negatif, dengan parameter r=α_post dan p=1/(β_post+1). Maka r=7, p=1/(4+1)=0,2. Tidak ada opsi. Soal ini mungkin terlalu kompleks.
Karakteristik utama yang membedakan prior konjugat dari prior biasa adalah…
Prior konjugat dipilih karena kemudahan matematisnya: ketika dikombinasikan dengan likelihood tertentu, posterior yang dihasilkan tetap berada dalam keluarga distribusi yang sama dengan prior.
Distribusi Beta sering digunakan sebagai prior konjugat untuk parameter proporsi dalam model Binomial karena…
Distribusi Beta didefinisikan pada interval (0,1) sehingga cocok untuk parameter proporsi, dan dengan dua parameternya (α,β) dapat menghasilkan berbagai bentuk kurva.
Sebuah survei dilakukan pada 100 responden dan 60 di antaranya menyatakan puas terhadap layanan. Jika digunakan prior Beta(2,2) untuk proporsi kepuasan, maka posterior untuk parameter proporsi adalah…
Posterior Beta memiliki parameter α_post = α + jumlah sukses = 2 + 60 = 62, dan β_post = β + jumlah gagal = 2 + 40 = 42.
Untuk likelihood Eksponensial dengan parameter laju λ, prior konjugat yang sesuai adalah distribusi Gamma. Jika prior λ ~ Gamma(α, β) dan diamati data x_1, x_2,…, x_n i.i.d. Eksponensial(λ), maka posterior λ adalah…
Untuk likelihood Eksponensial, statistik cukup adalah n dan Σx_i. Posterior Gamma memiliki parameter bentuk α_post = α + n dan parameter laju β_post = β + Σx_i.
Distribusi Beta sering dipilih sebagai prior untuk parameter proporsi dalam model Binomial karena sifat utamanya yang…
Sifat utama distribusi Beta sebagai prior konjugat adalah posterior yang dihasilkan tetap dalam keluarga distribusi Beta.
Seorang peneliti kesehatan masyarakat mengamati 20 pasien dan menemukan 8 di antaranya sembuh setelah mendapat terapi baru. Jika ia menetapkan prior Beta(1,1) untuk proporsi kesembuhan, maka parameter posterior yang tepat adalah…
Dengan prior Beta(α,β) dan likelihood Binomial, posterior Beta(α+Σx, β+n-Σx). Di sini Beta(1+8, 1+12) = Beta(9,13).
Untuk model Eksponensial dengan likelihood f(x|λ) = λe^{-λx}, prior konjugat yang menghasilkan posterior dengan interpretasi parameter yang mudah diperbarui adalah…
Distribusi Gamma adalah prior konjugat untuk parameter laju λ pada likelihood Eksponensial, menghasilkan posterior Gamma dengan parameter diperbarui.
Jika likelihood mengikuti distribusi Normal dengan variansi diketahui dan prior untuk mean adalah Normal, maka posterior mean akan berbentuk…
Posterior mean dalam model Normal-Normal merupakan rata-rata terbobot dari prior mean dan rata-rata sampel, dengan bobot berdasarkan presisi masing-masing.
Ketika variansi populasi tidak diketahui dalam model Normal, distribusi marginal posterior untuk mean mengikuti…
Dengan variansi tidak diketahui dan prior tidak informatif, distribusi marginal posterior mean mengikuti distribusi t-student.
Dalam inferensi Bayesian untuk data Poisson, jika prior untuk laju λ adalah Gamma(α, β) dan diamati Σx_i kejadian dalam n satuan waktu, maka posterior λ adalah…
Posterior Poisson-Gamma adalah Gamma dengan parameter shape α + Σx_i dan rate β + n, menjumlahkan kejadian dan satuan eksposur.
Prior tidak informatif untuk mean populasi Normal dengan variansi diketahui dinyatakan sebagai…
Prior tidak informatif untuk mean Normal adalah distribusi seragam pada seluruh bilangan real, yang merepresentasikan ketidaktahuan total tentang lokasi parameter.
Seorang insinyur kualitas mengamati 5 cacat dalam inspeksi 200 unit produk. Ia menggunakan prior Gamma(0,5, 0,5) untuk laju cacat λ per unit. Posterior λ yang tepat adalah…
Posterior Poisson-Gamma: Gamma(α+Σx, β+n). Dengan α=0,5, Σx=5, β=0,5, n=200, diperoleh Gamma(5,5, 200,5).
Seorang produsen mengukur kekuatan tarik 10 sampel dan memperoleh rata-rata 50 MPa. Jika variansi populasi diketahui 4 dan prior mean adalah Normal(48, 1), maka presisi posterior mean lebih dipengaruhi oleh…
Posterior mean adalah rata-rata terbobot dari prior mean dan rata-rata sampel; bobot masing-masing sebanding dengan presisinya.
Dalam situasi keputusan dengan risiko, pengambil keputusan memiliki informasi tentang…
Keputusan dengan risiko dicirikan oleh tersedianya probabilitas setiap keadaan alam yang diketahui pengambil keputusan.
Seorang manajer investasi menghadapi tiga pilihan dengan imbalan (dalam miliar) pada kondisi pasar naik, stabil, dan turun. Probabilitas masing-masing kondisi adalah 0,3, 0,5, dan 0,2. Jika imbalan opsi A: (10, 6, 2), opsi B: (8, 7, 4), opsi C: (5, 5, 5), maka berdasarkan kriteria nilai harapan moneter, keputusan terbaik adalah…
Nilai harapan A = 0,3(10)+0,5(6)+0,2(2)=3+3+0,4=6,4; B = 0,3(8)+0,5(7)+0,2(4)=2,4+3,5+0,8=6,7; C=5. Opsi B menghasilkan 6,7 miliar, tertinggi.
Perusahaan agroindustri mempertimbangkan tiga strategi tanam dengan imbalan (dalam miliar): Strategi X (12, 8, 3), Strategi Y (10, 9, 5), Strategi Z (7, 7, 7). Probabilitas cuaca baik, normal, buruk adalah 0,3, 0,5, 0,2. Kerugian peluang untuk Strategi X pada kondisi cuaca baik adalah…
Pada cuaca baik, imbalan tertinggi adalah Strategi X dengan 12 miliar. Kerugian peluang adalah selisih dari imbalan terbaik, yaitu 12-12=0.
Kriteria kerugian peluang harapan digunakan untuk memilih tindakan dengan…
Kriteria kerugian peluang harapan memilih tindakan yang meminimalkan ekspektasi kerugian peluang, yaitu rata-rata selisih dari imbalan terbaik.
Anda mengelola dana pensiun dan harus memilih portofolio. Kondisi ekonomi: booming (p=0,4), normal (p=0,5), resesi (p=0,1). Imbalan (%): Portofolio P (25, 12, -5), Portofolio Q (15, 10, 3), Portofolio R (10, 8, 6). Manakah yang memaksimalkan nilai harapan moneter…
E[P]=0,4(25)+0,5(12)+0,1(-5)=10+6-0,5=15,5; E[Q]=0,4(15)+0,5(10)+0,1(3)=6+5+0,3=11,3; E[R]=0,4(10)+0,5(8)+0,1(6)=4+4+0,6=8,6. Portofolio P memiliki nilai harapan tertinggi.
Dalam pengambilan keputusan dengan ketidakpastian, pengambil keputusan tidak memiliki akses terhadap…
Ketidakpastian berarti probabilitas setiap keadaan alam tidak diketahui oleh pengambil keputusan.
Seorang petani menghadapi tiga pilihan komoditas tanpa mengetahui kondisi cuaca musim depan. Imbalan (dalam juta): Padi (20, 15, 5), Jagung (12, 18, 10), Kedelai (8, 8, 8). Menggunakan kriteria Maximin, komoditas yang dipilih adalah…
Kriteria Maximin memilih tindakan dengan nilai minimum tertinggi. Minimum Padi=5, Jagung=10, Kedelai=8; nilai tertinggi adalah 10 dari Jagung.
Penerapan kriteria Laplace pada masalah keputusan dengan ketidakpastian mengasumsikan bahwa…
Kriteria Laplace mendasarkan diri pada prinsip ketidakcukupan alasan, yaitu mengasumsikan semua keadaan alam berpeluang sama untuk terjadi.
Seorang pemilik UMKM harus memutuskan strategi pemasaran tanpa mengetahui kondisi ekonomi kuartal depan. Imbalan (dalam juta rupiah) untuk tiga strategi pada kondisi resesi, stabil, dan booming adalah: Strategi Hemat (20, 25, 30), Strategi Moderat (15, 35, 40), Strategi Agresif (5, 20, 60). Dengan kriteria Maximin, strategi yang dipilih adalah…
Kriteria Maximin memilih tindakan dengan nilai minimum tertinggi. Minimum Strategi Hemat adalah 20, Moderat 15, dan Agresif 5. Nilai 20 adalah yang terbesar, sehingga Strategi Hemat dipilih.
Dalam pengambilan keputusan dengan ketidakpastian, kriteria Laplace mengasumsikan bahwa setiap keadaan alam memiliki…
Kriteria Laplace, diperkenalkan oleh Pierre-Simon Laplace, mendasarkan diri pada asas ketidakpedulian (principle of insufficient reason), yaitu mengasumsikan semua keadaan alam memiliki probabilitas yang sama karena tidak ada alasan untuk meyakini satu keadaan lebih mungkin daripada yang lain.
Seorang manajer proyek menggambar diagram sekuensial yang memuat simpul keputusan, simpul acak, dan imbalan di ujung kanan. Alat ini disebut…
Pohon keputusan merepresentasikan secara sekuensial alternatif keputusan, kejadian acak, dan imbalan sehingga memungkinkan analisis masalah keputusan bertahap. Simpul keputusan berbentuk kotak, simpul acak berbentuk lingkaran.
PT Pangan Sejahtera mempertimbangkan membeli riset pasar sebelum meluncurkan produk. Jika riset akurat sempurna, ekspektasi kenaikan imbalan yang dapat diperoleh perusahaan disebut…
Nilai informasi sempurna adalah selisih antara ekspektasi imbalan jika pengambil keputusan mengetahui keadaan alam secara sempurna dengan ekspektasi imbalan tanpa informasi tersebut. Ini merupakan batas atas dari nilai informasi yang layak dibeli.
Dalam menyelesaikan pohon keputusan, proses menghitung dari ujung kanan ke kiri dengan mengambil ekspektasi pada simpul acak dan memilih maksimum pada simpul keputusan disebut…
Inferensi mundur (backward induction) adalah teknik penyelesaian pohon keputusan dari kanan ke kiri. Pada simpul acak dihitung nilai harapan, sedangkan pada simpul keputusan dipilih nilai tertinggi, sehingga diperoleh keputusan optimal pada simpul awal.
Seorang investor mempertimbangkan membeli laporan analis seharga Rp5 juta untuk memprediksi pergerakan saham. Ia membandingkan ekspektasi imbalan dengan dan tanpa laporan. Selisih ekspektasi ini paling tepat disebut…
Nilai informasi sampel adalah selisih antara ekspektasi imbalan dengan memanfaatkan informasi sampel (seperti riset atau laporan) dan ekspektasi imbalan tanpa informasi. Ini membantu pengambil keputusan menentukan apakah biaya informasi layak dikeluarkan.
Ketika sebuah pohon keputusan memiliki dua simpul acak berturutan, probabilitas pada simpul kedua bergantung pada hasil simpul pertama. Situasi ini memerlukan penggunaan…
Ketika hasil suatu kejadian acak memengaruhi probabilitas kejadian acak berikutnya, penghitungan dalam pohon keputusan harus menggunakan probabilitas bersyarat. Hal ini mencerminkan dependensi sekuensial antar kejadian.
Fungsi matematis yang mengkuantifikasi preferensi subjektif pengambil keputusan terhadap imbalan sehingga lotere dapat dibandingkan berdasarkan nilai harapan dari fungsi tersebut disebut…
Fungsi kegunaan (utility function) memetakan imbalan moneter ke tingkat kepuasan subjektif sehingga pengambil keputusan dapat membandingkan alternatif berdasarkan ekspektasi kegunaan, bukan sekadar nilai moneter.
Seorang pengambil keputusan memiliki fungsi kegunaan U(x) = sqrt(x). Ia dihadapkan pada lotere dengan peluang 0,5 mendapat Rp100 juta dan 0,5 mendapat Rp0. Nilai harapan kegunaan lotere tersebut adalah…
E[U] = 0,5 × sqrt(100) + 0,5 × sqrt(0) = 0,5 × 10 + 0 = 5. Fungsi akar kuadrat bersifat konkaf, mencerminkan sikap penghindar risiko.
Bentuk fungsi kegunaan yang mencerminkan sikap penghindar risiko adalah fungsi yang bersifat…
Fungsi kegunaan konkaf menunjukkan utilitas marginal yang semakin menurun. Pengambil keputusan dengan fungsi kegunaan konkaf lebih menyukai imbalan pasti daripada lotere dengan nilai harapan setara, yang merupakan ciri penghindar risiko.
Seorang pengusaha menghadapi lotere dengan peluang 0,5 mendapat Rp200 juta dan 0,5 mendapat Rp0. Ia menyatakan bahwa menerima Rp80 juta secara pasti memberikan kepuasan yang sama dengan lotere tersebut. Nilai Rp80 juta ini disebut…
Ekuivalen pasti adalah jumlah uang pasti yang memberikan tingkat kegunaan yang sama dengan nilai harapan kegunaan dari suatu lotere. Selisih antara nilai harapan moneter dan ekuivalen pasti merupakan premi risiko.
Jika fungsi kegunaan seseorang adalah U(x) = x^2, maka sikapnya terhadap risiko adalah…
Fungsi kegunaan konveks seperti x^2 menunjukkan utilitas marginal yang meningkat. Pengambil keputusan dengan fungsi demikian lebih menyukai lotere daripada imbalan pasti dengan nilai harapan setara, yang merupakan ciri pencari risiko.
Himpunan semua tindakan yang mungkin dipilih oleh pengambil keputusan dalam suatu masalah keputusan disebut…
Ruang keputusan adalah himpunan semua alternatif tindakan yang tersedia bagi pengambil keputusan. Setiap elemen dalam ruang keputusan merupakan satu tindakan yang dapat dipilih.
Perbedaan mendasar antara fungsi kerugian dan fungsi imbalan dalam teori keputusan adalah…
Fungsi kerugian mengkuantifikasi biaya atau penalti yang timbul dari keputusan yang diambil ketika keadaan alam tertentu terjadi, sedangkan fungsi imbalan mengkuantifikasi keuntungan atau manfaat. Keduanya merupakan dua sisi dari preferensi pengambil keputusan.
Suatu strategi yang memetakan setiap kemungkinan hasil pengamatan data ke suatu tindakan spesifik dalam ruang keputusan disebut…
Kaidah keputusan adalah aturan sistematis yang menentukan tindakan mana yang akan diambil berdasarkan data yang diamati. Kaidah ini menghubungkan ruang sampel pengamatan dengan ruang keputusan.
Dalam pendekatan Bayesian, estimator yang meminimalkan ekspektasi fungsi kerugian kuadratik terhadap distribusi posterior adalah…
Fungsi kerugian kuadratik L(θ,a) = (θ – a)^2 diminimalkan oleh mean dari distribusi posterior. Ini karena ekspektasi kuadrat selisih mencapai minimum pada nilai harapan posterior, sehingga estimator Bayes optimal adalah mean posterior.
Himpunan semua tindakan yang mungkin dipilih oleh pengambil keputusan dalam suatu masalah keputusan disebut…
Dalam teori keputusan, himpunan semua tindakan yang tersedia bagi pengambil keputusan dinamakan ruang keputusan (decision space).
Seorang analis kualitas di PT Komponen Nusantara mengestimasi proporsi cacat produksi θ menggunakan kerugian kuadratik. Jika distribusi posterior θ adalah Beta(4, 16), estimator Bayes yang meminimalkan risiko posterior adalah…
Untuk kerugian kuadratik, estimator Bayes adalah mean posterior, yaitu α/(α+β) = 4/(4+16) = 0,20.
Risiko posterior dalam analisis keputusan Bayesian didefinisikan sebagai…
Risiko posterior adalah nilai harapan fungsi kerugian terhadap distribusi posterior parameter, yang menjadi dasar pemilihan keputusan optimal dalam kerangka Bayesian.
Estimator Bayes untuk parameter laju λ pada model Poisson di bawah kerugian kuadratik dan prior Gamma(α, β) adalah…
Posterior λ mengikuti Gamma(α + Σx_i, β + n). Mean distribusi Gamma adalah parameter bentuk dibagi parameter skala, yaitu (α + Σx_i)/(β + n), yang merupakan estimator Bayes di bawah kerugian kuadratik.
Seorang peneliti mengamati data x_1, x_2,…, x_n dari distribusi Normal(μ, σ^2) dengan σ^2 diketahui. Ia menggunakan prior μ ~ Normal(μ_0, τ^2) dan kerugian kuadratik. Estimator Bayes untuk μ merupakan…
Di bawah kerugian kuadratik, estimator Bayes adalah mean posterior. Untuk model Normal-Normal, mean posterior merupakan rata-rata terboboti antara rata-rata sampel x̄ dan prior mean μ_0, dengan bobot berdasarkan presisi masing-masing.
Dalam analisis posterior, jika digunakan fungsi kerugian absolut L(θ, a) = |θ – a|, estimator Bayes yang meminimalkan risiko posterior adalah…
Untuk fungsi kerugian absolut, estimator Bayes adalah median dari distribusi posterior, berbeda dengan kerugian kuadratik yang menghasilkan estimator berupa mean posterior.
Model regresi linear sederhana dinyatakan sebagai Y_i = β_0 + β_1 X_i + ε_i. Komponen ε_i dalam model tersebut merepresentasikan…
Dalam model regresi linear, ε_i adalah suku galat acak (random error) yang mencerminkan penyimpangan nilai observasi dari garis regresi, biasanya diasumsikan berdistribusi normal dengan mean nol.
PT Agro Lestari menganalisis hubungan antara luas lahan (X, hektar) dan hasil panen (Y, ton) pada 15 kebun. Diperoleh Σ(X_i – X̄)^2 = 200, Σ(Y_i – Ȳ)^2 = 800, dan Σ(X_i – X̄)(Y_i – Ȳ) = 360. Koefisien determinasi R^2 dari model ini adalah…
R^2 = [Σ(X_i – X̄)(Y_i – Ȳ)]^2 / [Σ(X_i – X̄)^2 × Σ(Y_i – Ȳ)^2] = 360^2/(200×800) = 129600/160000 = 0,81. Artinya 81% variabilitas hasil panen dijelaskan oleh luas lahan.
Metode kuadrat terkecil dalam regresi linear memilih estimator β_0 dan β_1 dengan cara…
Metode kuadrat terkecil (ordinary least squares) meminimalkan Σ(Y_i – Ŷ_i)^2, yaitu jumlah kuadrat selisih antara nilai observasi dan nilai dugaan dari model regresi.
Seorang peneliti membandingkan dua model regresi: Model 1 dengan satu prediktor (R^2=0,72) dan Model 2 dengan tiga prediktor (R^2=0,78). Untuk menentukan apakah penambahan prediktor signifikan, ia sebaiknya menggunakan…
Adjusted R^2 memperhitungkan jumlah prediktor dan memberikan penalti untuk penambahan variabel yang tidak signifikan, sehingga lebih tepat untuk membandingkan model dengan jumlah prediktor berbeda.
Dalam analisis regresi, koefisien determinasi R^2 mengukur…
Koefisien determinasi R^2 menyatakan proporsi variabilitas total variabel respons Y yang dapat dijelaskan oleh variabel prediktor dalam model regresi, bernilai antara 0 dan 1.
Pendekatan matriks untuk regresi linear berganda menyatakan model dalam bentuk Y = Xβ + ε. Vektor estimasi β yang meminimalkan jumlah kuadrat galat adalah…
Estimator kuadrat terkecil dalam notasi matriks diperoleh dari persamaan normal X^T X β̂ = X^T Y, sehingga β̂ = (X^T X)^{-1} X^T Y, dengan asumsi X^T X nonsingular.
PT Manufaktur Cipta ingin memodelkan kekuatan tarik produk (Y) berdasarkan suhu proses (X_1) dan tekanan (X_2) menggunakan regresi linear berganda dengan 30 observasi. Dalam pendekatan Bayesian untuk koefisien regresi β, digunakan prior normal multivariate. Distribusi posterior β akan mengikuti…
Dengan likelihood normal dan prior normal multivariat untuk β, posterior β juga mengikuti distribusi normal multivariat karena normal merupakan prior konjugat untuk mean model normal linear.
Dalam pendekatan Bayesian untuk regresi linear Y = Xβ + ε, diasumsikan ε ~ N(0, σ^2 I). Jika digunakan prior tidak informatif untuk β dan σ^2 diketahui, distribusi posterior β adalah normal dengan mean…
Dengan prior tidak informatif (flat prior) untuk β, posterior mean β sama persis dengan estimasi kuadrat terkecil biasa β̂ = (X^T X)^{-1} X^T Y, karena likelihood mendominasi posterior sepenuhnya.
Distribusi posterior prediktif untuk respons baru ỹ pada nilai prediktor x̃ dalam regresi Bayesian diperoleh dengan cara…
Distribusi posterior prediktif mengakomodasi ketidakpastian parameter dengan mengintegralkan P(ỹ|x̃, β, σ^2) terhadap distribusi posterior P(β, σ^2|data), sehingga menghasilkan distribusi untuk observasi masa depan.
Seorang analis di Bank Nusantara memodelkan skor kredit (Y) berdasarkan pendapatan (X_1) dan usia (X_2) dengan regresi Bayesian. Ia menggunakan prior normal untuk β dengan mean (0, 0, 0)^T dan matriks kovarians diagonal 100I. Setelah mengamati data, variansi posterior koefisien β_1 lebih kecil daripada variansi priornya. Hal ini menunjukkan bahwa…
Pengurangan variansi dari prior ke posterior mencerminkan bahwa data mengandung informasi relevan yang memperbarui keyakinan tentang parameter, sehingga ketidakpastian (presisi) meningkat setelah observasi.
Capek nemu soal distribusi posterior yang bikin kepala panas? Tenang, itu wajar. Semua pernah ngalamin. Apalagi Modul 04 dan 05. Bagian itu emang bikin mikir dua kali. Distribusi ramalan juga suka ngecoh kalau kurang latihan.
Nah, di STIK4352 Inferensi Bayesian, soal UTM biasanya lebih teknis. UO-nya malah minta kamu jelasin kenapa pilih prior tertentu. Kadang disuruh bikin pohon keputusan juga. Seru, kan? Kalau udah lancar, coba tengok soal UAS UT MATA4111 buat asah logika hitungan. Kali aja ketemu pola soal yang mirip.
