“Bentar, ini MATA4450 Matematika Aktuaria, bedanya probabilitas diwaktu hidup sama bunga anuitas gimana, ya?” , kira-kira itu kata hatiku setiap malam baca modul. Apalagi pas masuk MATA4450 Matematika Aktuaria dan mulai garap Modul 4 soal distribusi survival, rasanya kepala langsung mumet. Padahal itu konsep dasar yang nempel terus di topik selanjutnya. Soal UT di halaman ini dirancang khusus untuk ngelatih logika kamu bedain mana hitungan survival function mana teori bunga.
Nah, yang bikin Matkul ini makin greget justru pas masuk Modul 5 tentang anuitas jiwa kontinu sama diskrit. Dua topik itu sering muncul bergantian di UAS, padahal satu pakai asumsi pembayaran langsung, satu lagi pakai akhir tahun. Kalau cuma hafal rumus tanpa paham konteks, bisa salah terus. Prediksi soal UAS Statistika ini sengaja kami bikin per KB biar kamu fokus ke celah yang sering bikin ragu.
Di halaman ini, kami sediakan latihan soal dari Modul 7 soal premi model kontinu penuh sampai Modul 9 soal model multi life dan multiple decrement. Setiap soal langsung dikasih kunci jawaban plus pembahasan yang naratif, bukan sekadar B atau C. Kalau nemui nomor yang jawabannya beda dari instingmu, baca dulu pembahasannya , biasanya di situ letak bedanya. Latihan UAS Universitas Terbuka ini cocok jadi teman belajar malam-malam sebelum ujian tiba.
Soal UT MATA4450 Matematika Aktuaria
Sebuah dadu seimbang dilempar sekali. Berapa probabilitas munculnya angka genap?
Angka genap pada dadu adalah 2,4,6 yang berjumlah 3 dari total 6 sisi sehingga probabilitasnya 3/6=1/2.
Jika X adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas f(x)=x/10 untuk x=1,2,3,4, maka nilai P(X lebih dari 2) adalah?
P(X=3)=3/10 dan P(X=4)=4/10, total 7/10=0,7.
Modal sebesar Rp1.000.000 dibungakan dengan bunga tunggal 10% per tahun. Besar bunga setelah 2 tahun adalah?
Bunga = pokok x tingkat bunga x waktu = 1.000.000 x 0,1 x 2 = Rp200.000.
Nilai akumulasi dari Rp5.000.000 setelah 3 tahun dengan tingkat bunga 8% per tahun yang dimajemukkan secara kontinu (e^0,08*3) adalah?
Rumus akumulasi kontinu A = Pe^(rt) = 5.000.000 e^(0,24) ≈ 5.000.000 x 1,2712 = Rp6.356.000.
Anuitas pasti sebesar Rp1.000.000 per tahun selama 5 tahun dengan tingkat bunga 10% per tahun. Nilai sekarang anuitas tersebut adalah?
Rumus PV anuitas = PMT x (1-(1+i)^-n)/i = 1.000.000 x (1-1,1^-5)/0,1 ≈ 3.790.787.
Anuitas awal (due) sebesar Rp2.000.000 per tahun selama 3 tahun dengan bunga 8% per tahun. Nilai sekarang anuitas tersebut adalah?
PV anuitas due = PMT x (1-(1+i)^-n)/i x (1+i) = 2.000.000 x (1-1,08^-3)/0,08 x 1,08 ≈ 5.776.000.
Fungsi survival S(x) untuk suatu individu adalah e^(-0,02x). Berapa probabilitas seseorang berusia 40 tahun akan mencapai usia 50 tahun?
Probabilitas = S(50)/S(40) = e^(-0,02*50)/e^(-0,02*40) = e^(-1)/e^(-0,8) = e^(-0,2) ≈ 0,8187.
Dalam tabel mortalita, jumlah orang yang hidup pada usia 60 tahun adalah 8.500 dan pada usia 61 tahun adalah 8.200. Berapa probabilitas seseorang berusia 60 tahun meninggal dalam satu tahun?
q60 = (l60 – l61)/l60 = (8.500 – 8.200)/8.500 = 300/8500 ≈ 0,0353.
Anuitas jiwa kontinu seumur hidup untuk seseorang berusia x tahun dengan laju bunga δ=0,05 dan force of mortality μ=0,02. Berapa nilai sekarang aktuaria anuitas tersebut?
a_x = 1/(δ+μ) = 1/(0,05+0,02) = 1/0,07 ≈ 14,2857.
Dalam model diskrit, anuitas jiwa seumur hidup awal dengan pembayaran 1 per tahun memiliki nilai aktuaria a_x. Jika i=0,06 dan v=1/1,06, dan diketahui a_x=12, maka nilai a_x adalah?
Pertanyaan sudah langsung menyebutkan a_x=12, maka jawabannya 12.
Anuitas jiwa dengan pembayaran m kali setahun, m=12, untuk seseorang berusia x tahun. Perkiraan nilai a_x^(12) menggunakan pendekatan a_x dikurangi koreksi, jika a_x=15 dan (m-1)/2m = 11/24, maka a_x^(12) mendekati?
a_x^(m) ≈ a_x – (m-1)/2m = 15 – 11/24 ≈ 15 – 0,4583 = 14,5417.
Asuransi jiwa seumur hidup kontinu dengan santunan 1 dibayarkan seketika saat kematian. Jika force of mortality μ=0,04 dan laju bunga δ=0,06, berapa nilai sekarang aktuaria A_x?
A_x = μ/(μ+δ) = 0,04/(0,04+0,06) = 0,4.
Asuransi jiwa seumur hidup diskrit dengan santunan 1 dibayarkan pada akhir tahun kematian. Diketahui q_x=0,02 dan v=0,9434. Berapa A_x?
A_x = v * q_x = 0,9434 * 0,02 = 0,018868.
Premi model kontinu penuh untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan santunan 1, diketahui A_x=0,4 dan a_x=14. Berapa premi tahunan kontinu P?
P = A_x / a_x = 0,4 / 14 ≈ 0,028571.
Premi model diskrit penuh untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan santunan 1, diketahui A_x=0,5 dan a_x=10. Premi tahunan P adalah?
P = A_x / a_x = 0,5 / 10 = 0,05.
Cadangan kontinu pada waktu t untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan premi kontinu P dan fungsi manfaat. Jika _{t}V = A_{x+t} – P a_{x+t}, dan diketahui A_{x+t}=0,5, a_{x+t}=12, P=0,03, maka _{t}V adalah?
_{t}V = 0,5 – 0,03*12 = 0,5 – 0,36 = 0,14.
Dalam model multiple decrement, jika peluang seseorang meninggalkan studi karena penyebab 1 dalam setahun adalah 0,10, dan karena penyebab 2 adalah 0,05, maka total peluang decrement dalam setahun adalah?
Peluang total decrement = 1 – (1-0,10)(1-0,05) = 1 – (0,9*0,95)=1-0,855=0,145.
Dalam teori probabilitas, jika A dan B adalah dua kejadian dengan P(A)=0,5, P(B|A)=0,4, maka P(A ∩ B) sama dengan…
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = 0,5 × 0,4 = 0,2.
Distribusi probabilitas yang sering digunakan untuk memodelkan waktu tunggu hingga kejadian pertama dalam proses Poisson adalah…
Distribusi Eksponensial digunakan untuk memodelkan waktu antar kejadian dalam proses Poisson.
Jika uang sebesar Rp 1.000.000 diinvestasikan dengan tingkat bunga sederhana 5% per tahun, maka nilai akumulasi setelah 3 tahun adalah…
Nilai akumulasi = 1.000.000 × (1 + 0,05 × 3) = Rp 1.150.000.
Jika tingkat bunga nominal dimajemukkan setiap bulan adalah 12% per tahun, maka tingkat bunga efektif tahunan adalah…
Tingkat bunga efektif = (1 + 0,12/12)^12 – 1 = 0,1268 atau 12,68%.
Anuitas pasti dengan pembayaran Rp 1.000 setiap akhir tahun selama 5 tahun. Jika tingkat bunga 10% per tahun, maka nilai sekarang anuitas tersebut adalah…
Nilai sekarang = 1000 × (1 – (1,1)^-5) / 0,1 = 3.790,78.
Anuitas awal (due) dengan pembayaran Rp 500 setiap awal tahun selama 4 tahun dengan tingkat bunga 8% per tahun memiliki nilai sekarang sebesar…
Nilai sekarang anuitas awal = 500 × (1 + (1 – (1,08)^-3)/0,08) = 1.782,00.
Fungsi survival S(t) didefinisikan sebagai probabilitas seseorang bertahan hidup hingga waktu t. Jika S(3)=0,8, maka probabilitas seseorang meninggal dalam 3 tahun pertama adalah…
Probabilitas meninggal = 1 – S(3) = 0,2.
Tabel mortalita menunjukkan lx = 1000 untuk x=0, dan l1 = 950, l2 = 900. Maka probabilitas seseorang berusia 1 tahun akan meninggal dalam 2 tahun ke depan (2q1) adalah…
2q1 = (l1 – l3)/l1 = (950 – 900)/950 = 0,0526.
Anuitas jiwa kontinu memberikan pembayaran sebesar 1 per tahun seumur hidup. Jika fungsi survival S(t) = e^(-0,04t) dan tingkat bunga δ=0,06, maka nilai sekarang aktuaria anuitas tersebut adalah…
Nilai sekarang = ∫0^∞ e^(-0,06t) e^(-0,04t) dt = ∫0^∞ e^(-0,1t) dt = 1/0,1 = 10.
Anuitas jiwa diskrit seumur hidup dengan pembayaran 1 setiap akhir tahun untuk seseorang berusia 30 tahun. Jika i=5% dan probabilitas survival 2p30=0,95, maka kontribusi pembayaran tahun ke-3 dalam nilai sekarang adalah…
Nilai sekarang = probabilitas bertahan 2 tahun v^2 = 0,95 × (1,05)^-2.
Anuitas jiwa dengan pembayaran 2 kali setahun (m=2) untuk seseorang berusia 50 tahun. Jika tingkat bunga efektif tahunan 6%, maka faktor diskon per setengah tahun adalah…
Faktor diskon = (1 + 0,06)^(-0,5) = 0,9709.
Jika santunan asuransi jiwa sebesar 1 dibayarkan seketika saat kematian, dengan force of mortality μ konstan 0,02 dan δ=0,03, maka premi tunggal neto untuk asuransi seumur hidup adalah…
Premi tunggal = μ/(μ+δ) = 0,02/0,05 = 0,4.
Jika santunan asuransi jiwa sebesar 1 dibayarkan pada akhir tahun kematian, dan seseorang berusia 30 tahun memiliki probabilitas meninggal di tahun ke-2 sebesar 0,01, serta i=5%, maka kontribusi tahun ke-2 terhadap premi tunggal adalah…
Kontribusi = probabilitas meninggal di tahun ke-2 dikali v^2 = 0,01 × (1,05)^-2.
Premi tahunan kontinu penuh untuk asuransi seumur hidup dengan santunan 1 dapat dihitung dengan rumus…
Premi tahunan kontinu = Ā / ä (nilai sekarang santunan dibagi nilai sekarang anuitas).
Premi diskret penuh untuk asuransi dwiguna (endowment) n-tahun dengan santunan 1 adalah…
Premi = (A1_n| + E_n) / ä_x:n|.
Cadangan premi model kontinu pada waktu t untuk asuransi seumur hidup dengan premi tahunan kontinu P didefinisikan sebagai…
Cadangan kontinu = nilai sekarang manfaat dikurangi nilai sekarang premi masa depan.
Dalam model multiple decrement, jika force of decrement untuk penyebab 1 adalah μ1=0,01 dan untuk penyebab 2 μ2=0,02, maka probabilitas seseorang meninggalkan sistem karena penyebab 1 dalam waktu 1 tahun adalah…
Probabilitas = μ1/(μ1+μ2) × (1 – e^(-(μ1+μ2))) = 0,01/0,03 × (1 – e^(-0,03)).
Jika dua kejadian A dan B saling bebas dengan P(A)=0,3 dan P(B)=0,4, berapakah P(A∩B)?
Untuk kejadian saling bebas, P(A∩B)=P(A)×P(B)=0,3×0,4=0,12.
Distribusi probabilitas apa yang sering digunakan untuk memodelkan waktu hingga suatu kejadian terjadi dalam aktuaria?
Distribusi Eksponensial sering digunakan untuk memodelkan waktu hingga kejadian karena sifat memoryless-nya.
Jika modal awal Rp10.000.000 dibungakan dengan bunga majemuk 8% per tahun selama 3 tahun, berapa nilai akhirnya?
Nilai akhir = 10.000.000 × (1+0,08)^3 = 10.000.000 × 1,259712 = Rp12.597.120.
Pemajemukan berkelanjutan menggunakan rumus A=P e^(rt). Jika P=1 juta, r=6%, dan t=2 tahun, berapa nilai A?
A = 1.000.000 × e^(0,06×2) = 1.000.000 × e^0,12 ≈ 1.000.000 × 1,127496 = Rp1.127.496.
Anuitas pasti dengan pembayaran Rp500.000 setiap akhir tahun selama 5 tahun dengan tingkat bunga 10% per tahun. Berapa nilai sekarang anuitas tersebut?
Nilai sekarang = 500.000 × (1-(1,10)^(-5))/0,10 = 500.000 × 3,790787 = Rp1.895.393.
Anuitas awal (annuity due) dengan pembayaran Rp1.000.000 setiap awal tahun selama 4 tahun dengan bunga 8% per tahun. Berapa nilai sekarangnya?
Nilai sekarang anuitas awal = 1.000.000 × (1-(1,08)^(-4))/0,08 × (1,08) = 1.000.000 × 3,312127 × 1,08 = Rp3.577.097.
Fungsi survival S(x) = 1 – x/100 untuk 0 ≤ x ≤ 100. Berapa peluang seseorang berusia 20 tahun akan mencapai usia 50 tahun?
S(20)=1-20/100=0,8; S(50)=1-50/100=0,5; Peluang = S(50)/S(20)=0,5/0,8=0,625.
Dalam tabel mortalita, l_x menyatakan jumlah orang yang hidup tepat pada usia x. Jika l_60=80.000 dan l_61=78.000, berapa q_60?
q_60 = (l_60 – l_61)/l_60 = (80.000 – 78.000)/80.000 = 2.000/80.000 = 0,025.
Anuitas jiwa kontinu seumur hidup untuk seseorang berusia x, dengan tingkat bunga δ, dinyatakan sebagai?
Anuitas jiwa kontinu seumur hidup adalah integral dari v^t dikalikan peluang bertahan hidup t p_x dari 0 hingga ∞.
Anuitas jiwa diskrit seumur hidup memberikan pembayaran sebesar Rp1 setiap awal tahun. Jika i=5% dan ä_x=12, berapa nilai sekarang dari anuitas ini?
Nilai sekarang anuitas jiwa diskrit seumur hidup dengan pembayaran Rp1 setiap awal tahun adalah ä_x itu sendiri, yaitu 12.
Asuransi jiwa kontinu dengan manfaat Rp10.000.000 dibayarkan seketika saat kematian. Jika Ḡ_x=0,4, berapa premi tunggal bersihnya?
Premi tunggal bersih = manfaat × Ḡ_x = 10.000.000 × 0,4 = Rp4.000.000.
Asuransi jiwa diskrit dengan manfaat Rp50.000.000 dibayarkan pada akhir tahun kematian. Jika A_x=0,3, berapa premi tunggal bersihnya?
Premi tunggal bersih = manfaat × A_x = 50.000.000 × 0,3 = Rp15.000.000.
Dalam model kontinu penuh, premi tahunan P(Ḡ_x) dinyatakan sebagai?
Premi tahunan model kontinu penuh adalah Ḡ_x dibagi dengan anuitas jiwa kontinu ä_x.
Cadangan premi pada tahun ke-t untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan premi tahunan kontinu dinyatakan sebagai?
Cadangan premi kontinu pada tahun ke-t adalah nilai sekarang manfaat dikurangi nilai sekarang premi masa depan, yaitu Ḡ_{x+t} – P(Ḡ_x) × ä_{x+t}.
Dalam model multiple life, fungsi survival bersama untuk dua orang berusia x dan y yang saling bebas adalah?
Jika usia saling bebas, peluang keduanya bertahan hingga t tahun adalah perkalian fungsi survival masing-masing.
Dalam model penyusutan berganda, laju kegagalan total pada usia x adalah?
Laju kegagalan total adalah jumlah laju kegagalan dari setiap penyebab yang saling eksklusif.
Latihan tadi langsung menguji seberapa paham kamu dengan hubungan antara tabel mortalita dan perhitungan anuitas jiwa. Bagian anuitas kontinu vs diskrit di Modul 5 itu biasanya yang bikin banyak orang ragu di UAS. Dua konsep itu beda tipis, tapi efeknya ke jawaban bisa jauh. Kalau jawabanmu soal cadangan premi masih sering meleset, coba ulang lagi asumsi bunga dan survival function-nya dari awal.
Di MATA4450 Matematika Aktuaria, soal UAS UT sering mengombinasikan beberapa modul dalam satu cerita, misalnya anuitas jiwa dengan model multiple decrement. Soal tipe analisis seperti itu biasanya muncul di UO, jadi jangan cuma hafal rumus, pahami kapan pakai yang kontinu dan kapan yang diskrit. Ada banyak kumpulan soal UAS UT lain di sini kalau kamu mau lanjut latihan matkul lain.
