Belajar persamaan diferensial di SATS4220 Matematika III itu memang butuh waktu, apalagi bagian konsep dasar di Modul 1. Bedain antara definisi dan contoh sederhana di KB 1 sama penyelesaian di KB 2 sering bikin kepala pusing. Tapi tenang, itu wajar. Referensi soal UT di halaman ini membantu kamu lihat langsung pola soal dari setiap KB biar nggak bingung.
Faktor integrasi di Modul 2 dan getaran pegas di Modul 8 jadi dua topik yang paling sering keluar di ujian. Keduanya butuh pemahaman rumus, bukan sekadar hafalan. Coba kerjakan soal dari bagian itu dulu. Soal UT Statistika ini dikelompokkan per topik, jadi kamu bisa langsung latihan di bagian yang masih rawan salah.
Latihan UAS Universitas Terbuka di bawah ini mencakup inti tiap modul, dari variabel terpisah sampai transformasi Laplace. Setiap soal kami lengkapi dengan kunci jawaban dan pembahasan, jadi kamu bisa cek langsung langkah penyelesaiannya. Kalau ada yang beda dari cara pikir kamu, baca dulu uraiannya sebelum lanjut ke soal berikutnya.
Soal UT SATS4220 Matematika III
Berikut ini yang merupakan persamaan diferensial biasa tingkat dua adalah …
Persamaan diferensial biasa tingkat dua memiliki turunan tertinggi kedua. Opsi B adalah yang tepat karena memuat d^2y/dx^2.
Penyelesaian umum dari persamaan diferensial dy/dx = x^2 adalah …
Dengan mengintegralkan x^2 terhadap x, diperoleh y = (1/3)x^3 + C.
Persamaan (x + y)dx + (x + y)dy = 0 termasuk jenis persamaan diferensial …
Dengan mengecek turunan parsial M terhadap y dan N terhadap x, keduanya sama yaitu 1, sehingga persamaan ini eksak.
Persamaan diferensial dy/dx = y/x dapat diselesaikan dengan metode variabel terpisah. Solusi umumnya adalah …
Pisahkan variabel menjadi dy/y = dx/x, integralkan menghasilkan ln|y| = ln|x| + C, sehingga y = Cx.
Faktor integrasi dari persamaan diferensial dy/dx + 2y = 4 adalah …
Faktor integrasi untuk persamaan linear dy/dx + P(x)y = Q(x) adalah e^(∫P dx). Dengan P=2, diperoleh e^(2x).
Bentuk persamaan (x^2 + y^2)dx + 2xy dy = 0 termasuk dalam kategori yang dapat dibawa ke persamaan …
Persamaan ini homogen karena setiap suku berderajat dua, dan dapat diselesaikan dengan substitusi y = vx.
Penyelesaian khusus dari dy/dx + y = 0 dengan y(0)=1 adalah …
Solusi umum adalah y = Ce^(-x). Substitusi y(0)=1 menghasilkan C=1, jadi y = e^(-x).
Terapan persamaan diferensial dalam fisika digunakan untuk memodelkan …
Hukum pendinginan Newton adalah contoh terapan persamaan diferensial yang menyatakan laju perubahan suhu sebanding dengan selisih suhu.
Persamaan diferensial linear homogen orde dua dengan koefisien konstan d^2y/dx^2 + 4y = 0 memiliki persamaan karakteristik …
Persamaan karakteristik diperoleh dengan mengganti turunan dengan pangkat r, sehingga menjadi r^2 + 4 = 0.
Operator diferensial D pada persamaan (D^2 – 3D + 2)y = 0 menghasilkan solusi umum …
Persamaan karakteristik r^2 – 3r + 2 = 0 memiliki akar 1 dan 2, sehingga solusi umum y = C1 e^x + C2 e^(2x).
Persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan (D^2 + 1)y = 0 memiliki solusi yang melibatkan fungsi …
Persamaan karakteristik r^2 + 1 = 0 memiliki akar imajiner ±i, sehingga solusinya adalah kombinasi sin dan cos.
Transformasi Laplace dari fungsi f(t)=e^(2t) adalah …
Transformasi Laplace dari e^(at) adalah 1/(s-a), sehingga untuk a=2 hasilnya 1/(s-2).
Transformasi Laplace dari derivatif f'(t) adalah …
Sifat transformasi Laplace untuk turunan pertama adalah L{f'(t)} = sF(s) – f(0).
Invers transformasi Laplace dari 1/(s+3) adalah …
Invers dari 1/(s+a) adalah e^(-at), sehingga untuk a=3 hasilnya e^(-3t).
Pemakaian transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial y'' + y = 0 dengan y(0)=0, y'(0)=1 menghasilkan …
Transformasi Laplace menghasilkan (s^2+1)Y(s)=1, sehingga Y(s)=1/(s^2+1). Inversnya adalah sin t.
Dalam getaran pegas, persamaan diferensial yang menggambarkan gerak harmonik sederhana tanpa redaman adalah …
Gerak harmonik sederhana tanpa redaman dimodelkan dengan m d^2x/dt^2 + kx = 0, di mana k adalah konstanta pegas.
Penyelesaian sistem persamaan diferensial dx/dt = 2x, dy/dt = 3y dengan matriks dapat ditulis sebagai …
Setiap persamaan independen, solusinya x = C1 e^(2t) dan y = C2 e^(3t).
Manakah dari berikut ini yang merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu?
Persamaan diferensial biasa tingkat satu hanya melibatkan turunan pertama. Opsi A adalah PD tingkat satu, opsi B tingkat dua, opsi C PD parsial, dan opsi D bukan bentuk linear.
Penyelesaian dari persamaan diferensial dy/dx = x adalah y = …
Integralkan dy/dx = x terhadap x menghasilkan y = x²/2 + C.
Bentuk umum persamaan dengan variabel terpisah adalah …
Persamaan dengan variabel terpisah berbentuk M(x)N(y) dx + P(x)Q(y) dy = 0, atau dy/dx = M(x)N(y).
Persamaan (x + y) dx + (x – y) dy = 0 termasuk jenis persamaan …
Cek turunan parsial: ∂(x+y)/∂y = 1 dan ∂(x-y)/∂x = 1, sama sehingga persamaan ini eksak.
Faktor integrasi untuk persamaan diferensial dy/dx + P(x)y = Q(x) adalah …
Faktor integrasi I(x) = e^(∫P(x) dx) digunakan untuk menyelesaikan PD linear tingkat satu.
Penyelesaian umum dari persamaan linear tingkat satu dy/dx + 2y = 0 adalah …
PD tersebut homogen dengan P(x)=2, sehingga solusi y = Ce^(-∫2 dx) = Ce^(-2x).
Dalam terapan persamaan diferensial, laju pendinginan suatu benda menurut hukum Newton adalah …
Hukum Newton menyatakan dT/dt = -k(T – T₀), di mana laju pendinginan sebanding dengan selisih suhu.
Jika D adalah operator diferensial, maka D²y menyatakan …
Operator D melambangkan turunan, sehingga D²y = d²y/dx².
Persamaan karakteristik dari y'' – 3y' + 2y = 0 adalah …
Substitusi y = e^(rx) menghasilkan persamaan karakteristik r² – 3r + 2 = 0.
Bentuk khusus dari solusi partikulir y'' + y = sin x dengan metode koefisien tak tentu adalah …
Karena sin x sudah ada dalam solusi homogen, maka solusi partikulir dikalikan dengan x menjadi Ax cos x + Bx sin x.
Persamaan diferensial Cauchy-Euler x²y'' + xy' – y = 0 memiliki solusi dengan substitusi x = e^t. Persamaan karakteristiknya adalah …
Substitusi y = x^r menghasilkan r(r-1) + r – 1 = r² – 1 = 0.
Transformasi Laplace dari fungsi f(t) = e^(at) adalah …
L{e^(at)} = ∫₀^∞ e^(at) e^(-st) dt = 1/(s-a) untuk s > a.
Transformasi Laplace dari turunan pertama L{y'} adalah …
Rumus L{y'} = sY(s) – y(0) dengan Y(s) = L{y(t)}.
Invers dari transformasi Laplace L⁻¹{1/(s² + a²)} adalah …
L{(1/a) sin(at)} = 1/(s² + a²), sehingga inversnya adalah (1/a) sin(at).
Penyelesaian PD y'' + y = 0 dengan syarat awal y(0)=1 dan y'(0)=0 menggunakan transformasi Laplace adalah …
L{y'' + y} = s²Y – s + Y = 0 => Y = s/(s²+1), inversnya adalah cos t.
Persamaan getaran pegas tak teredam adalah m d²x/dt² + kx = 0. Frekuensi sudut getaran adalah …
Solusi umum x(t) = A cos(ωt + φ) dengan ω = √(k/m).
Penyelesaian sistem persamaan diferensial dx/dt = x + y, dy/dt = x – y dengan metode matriks melibatkan nilai eigen dari matriks …
Sistem dapat ditulis sebagai d/dt[x;y] = A[x;y] dengan A = [[1, 1], [1, -1]].
Persamaan diferensial berikut yang termasuk dalam persamaan linear tingkat satu adalah…
Persamaan linear tingkat satu memiliki bentuk umum y' + P(x)y = Q(x). Opsi A sesuai dengan bentuk tersebut, sementara opsi lain melibatkan y^2, sin y, atau (y')^2 yang bersifat nonlinear.
Penyelesaian umum dari persamaan diferensial dy/dx = x^2 adalah…
Integralkan kedua sisi: dy/dx = x^2 maka y = ∫ x^2 dx = x^3/3 + C.
Persamaan diferensial (2xy + 1)dx + (x^2 + 2y)dy = 0 termasuk jenis persamaan…
Cek syarat eksak: M = 2xy+1, N = x^2+2y. ∂M/∂y = 2x, ∂N/∂x = 2x. Karena sama, maka persamaan tersebut eksak.
Bentuk persamaan (x + y)dx + (x – y)dy = 0 dapat dibawa ke persamaan dengan variabel terpisah dengan substitusi…
Persamaan tersebut homogen, sehingga substitusi y = vx akan mengubahnya menjadi persamaan dengan variabel terpisah.
Faktor integrasi dari persamaan diferensial y' + (2/x)y = x adalah…
Faktor integrasi untuk y' + P(x)y = Q(x) adalah e^∫P(x)dx. P(x)=2/x, ∫2/x dx=2ln x = ln x^2, sehingga e^(ln x^2)=x^2.
Penyelesaian dari persamaan linear tingkat satu y' + y = 0 adalah…
Persamaan homogen y' + y = 0 mempunyai solusi umum y = Ce^(-x).
Dalam terapan persamaan diferensial, hukum pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahan suhu sebanding dengan…
Hukum pendinginan Newton: dT/dt = k(T – T_lingkungan), sehingga laju perubahan suhu sebanding dengan selisih suhu.
Persamaan diferensial linear orde dua homogen dengan koefisien konstan y'' – 4y = 0 mempunyai persamaan karakteristik…
Persamaan karakteristik diperoleh dari substitusi y=e^(rx) ke persamaan homogen, sehingga r^2 – 4 = 0.
Operator diferensial D pada fungsi y berarti…
Operator D didefinisikan sebagai D = d/dx, sehingga Dy = dy/dx.
Penyelesaian umum persamaan diferensial y'' + y = 0 adalah…
Persamaan karakteristik r^2 + 1 = 0, akar-akar imajiner ±i, sehingga solusi umumnya adalah y = A cos x + B sin x.
Persamaan diferensial y'' – 3y' + 2y = 0 dengan koefisien konstan memiliki akar-akar karakteristik…
Persamaan karakteristik r^2 – 3r + 2 = 0, faktorkan menjadi (r-1)(r-2)=0, sehingga r=1 atau r=2.
Transformasi Laplace dari fungsi f(t)=e^(3t) adalah…
Transformasi Laplace dari e^(at) adalah 1/(s-a) untuk s>a. Untuk a=3, hasilnya 1/(s-3).
Transformasi Laplace dari derivatif f'(t) adalah…
Sifat transformasi Laplace untuk turunan: L{f'(t)} = sF(s) – f(0).
Invers dari transformasi Laplace 1/(s^2+4) adalah…
Invers dari 1/(s^2 + a^2) adalah (1/a) sin at. Dengan a=2, hasilnya (1/2) sin 2t.
Persamaan diferensial getaran pegas tanpa redaman dinyatakan oleh…
Persamaan getaran pegas tanpa redaman: m y'' + k y = 0, dengan m adalah massa dan k konstanta pegas.
Sistem persamaan diferensial linear dx/dt = x + y, dy/dt = x – y dapat ditulis dalam bentuk matriks…
Matriks koefisien dari sistem tersebut adalah [[1,1],[1,-1]], sehingga bentuk matriksnya X' = [[1,1],[1,-1]] X.
Latihan soal tadi langsung menguji pemahamanmu pada transformasi Laplace dan persamaan diferensial linear. Banyak mahasiswa yang mulai ragu-ragu saat masuk ke modul 03, terutama soal terapan pegas dan bandul sederhana. Tapi justru di situlah bedanya. Kalau masih ada jawaban yang selisih sedikit dari kunci, coba teliti lagi langkah operator diferensial di modul 04, satu kesalahan kecil bisa mengubah hasil akhirnya. Ada banyak soal UAS Universitas Terbuka lain yang bisa kamu coba untuk memperkuat penguasaan topik-topik ini.
Di ujian, kamu akan ketemu soal UTM yang hitungannya langsung, lalu soal UO yang butuh analisis lebih lama. SATS4220 Matematika III bukan matkul yang bisa kamu lalui hanya dengan menghafal rumus. Saran saya, kerjakan dulu bagian yang kamu yakin, baru kembali ke soal yang terasa berat. Kalau kamu sering dapat Soal UAS UT dari modul 05 dan 06, setidaknya separuh latihan sudah terbayar. Siapkan kertas kosong dan istirahat sejenak sebelum mulai ujian.
