Pernah sadar kalau faktor integrasi di Modul 2 sering dianggap sepele, padahal jadi kunci nyelesain persamaan diferensial tak eksak? Topik ini memang sederhana, tapi langkah kecilnya gampang banget terlewat. Banyak mahasiswa UT terjebak di situ. Bank soal UT di halaman ini sengaja ngumpulin soal dari Modul 2 dan Modul 3 biar kamu latihan nyambungin konsep variabel terpisah sama faktor integrasi. Persamaan linear tingkat satu juga ada di sini, lho.
Transformasi Laplace di Modul 6 begitu juga, rumusnya keliatan rumit, tapi setelah dikerjakan beberapa kali, polanya ketahuan. Hal yang paling sering bikin keliru itu balik lagi ke inversnya di Modul 7. Anehnya, banyak yang lupa bahwa invers itu kebalikan langsung dari transformasi awal. Soal UAS UT Statistika berikutnya juga nyentuh dua modul itu. Coba kamu bandingkan jawabannya satu per satu biar paham bedanya.
SATS4220 Matematika III di bawah ini membahas persamaan diferensial dari Modul 1 sampai Modul 5 dan Transformasi Laplace di Modul 6-7. Setiap soal dilengkapi kunci jawaban dan pembahasan, jadi kamu bisa cek di mana letak kesalahan hitung atau logika. Contoh soal UAS UT yang kami sediakan sengaja dipilih dari tipe yang sering muncul di ujian. Tinggal pilih topik yang masih terasa asing, langsung kerjakan.
Soal UT SATS4220 Matematika III
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat suatu fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Contoh berikut yang merupakan persamaan diferensial biasa adalah …
Persamaan diferensial biasa hanya melibatkan satu variabel bebas, seperti dy/dx + y = 0.
Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh …
Orde persamaan diferensial adalah tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan.
Berikut ini yang bukan merupakan contoh persamaan diferensial biasa adalah …
∂u/∂x + ∂u/∂y = 0 adalah persamaan diferensial parsial karena melibatkan turunan terhadap lebih dari satu variabel bebas.
Persamaan diferensial d^2y/dx^2 + 5(dy/dx)^3 + 4y = 0 memiliki orde …
Turunan tertinggi adalah d^2y/dx^2, sehingga orde persamaan adalah 2.
Persamaan diferensial biasa dikatakan linear jika …
Persamaan diferensial linear memenuhi ketiga sifat tersebut.
Bentuk umum persamaan diferensial biasa linear orde n adalah …
Bentuk umum tersebut menunjukkan koefisien tergantung pada variabel bebas x dan turunan fungsi y.
Penyelesaian umum dari persamaan diferensial dy/dx = 2x adalah …
Integral dari 2x terhadap x adalah x^2 + C.
Penyelesaian khusus dari persamaan diferensial dy/dx = 3x^2 dengan syarat y(1) = 4 adalah …
Integral 3x^2 adalah x^3 + C. Substitusi x=1, y=4 menghasilkan 4 = 1^3 + C, maka C=3, jadi y = x^3 + 3.
Persamaan diferensial dy/dx = e^x memiliki penyelesaian umum …
Integral dari e^x terhadap x adalah e^x + C.
Penyelesaian dari persamaan diferensial dy/dx = y dengan syarat y(0) = 2 adalah …
Penyelesaian umum dy/dx = y adalah y = Ce^x. Substitusi x=0, y=2 diperoleh C=2, sehingga y = 2e^x.
Untuk persamaan diferensial dy/dx = sin x, penyelesaian umumnya adalah …
Integral dari sin x adalah -cos x + C.
Penyelesaian dari persamaan diferensial dy/dx = 1/x (x > 0) adalah …
Integral dari 1/x adalah ln x + C untuk x > 0.
Persamaan diferensial dengan variabel terpisah adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk …
Bentuk dy/dx = f(x) g(y) memungkinkan pemisahan variabel ke sisi yang berbeda.
Penyelesaian dari persamaan diferensial dy/dx = x / y adalah …
Pisahkan menjadi y dy = x dx, integralkan kedua sisi: 1/2 y^2 = 1/2 x^2 + C1, sehingga y^2 = x^2 + C.
Suatu persamaan diferensial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan eksak jika memenuhi syarat …
Syarat keeksakan adalah turunan parsial M terhadap y sama dengan turunan parsial N terhadap x.
Persamaan diferensial (2xy + 1) dx + (x^2 + 3y^2) dy = 0 adalah eksak. Fungsi potensial F(x,y) yang memenuhi adalah …
Integral M = 2xy + 1 terhadap x menghasilkan x^2 y + x + g(y). Turunkan terhadap y: x^2 + g'(y) harus sama dengan N = x^2 + 3y^2, sehingga g'(y) = 3y^2 dan g(y) = y^3 + C. Jadi F = x^2 y + x + y^3 + C.
Penyelesaian dari persamaan diferensial eksak (2xy) dx + (x^2 + 1) dy = 0 adalah …
Integral M = 2xy terhadap x menghasilkan x^2 y + g(y). Turunkan terhadap y: x^2 + g'(y) = N = x^2 + 1, maka g'(y) = 1, g(y) = y + C. Jadi F = x^2 y + y = C.
Persamaan diferensial (x+y) dx + (x-y) dy = 0 termasuk jenis persamaan eksak. Nilai dari turunan parsial M terhadap y dan N terhadap x adalah …
Persamaan (x+y) dx + (x-y) dy = 0 memiliki M = x+y sehingga M_y = 1 dan N = x-y sehingga N_x = 1. Karena M_y = N_x maka persamaan eksak.
Persamaan diferensial dy/dx = (y-x)/(y+x) dapat diubah menjadi persamaan dengan variabel terpisah menggunakan substitusi y = ux. Bentuk persamaan setelah substitusi adalah …
Substitusi y = ux maka dy/dx = u + x du/dx. Persamaan menjadi u + x du/dx = (ux-x)/(ux+x) = (u-1)/(u+1). Maka x du/dx = (u-1)/(u+1) – u = -(u^2+1)/(u+1). Jadi du/dx = -(u^2+1)/((u+1)x).
Persamaan diferensial (x^2 + y^2) dx + 2xy dy = 0 adalah persamaan homogen. Dengan substitusi y = ux, bentuk sederhana yang diperoleh adalah …
Substitusi y = ux, turunan dy = u dx + x du. Persamaan menjadi (x^2 + u^2 x^2) dx + 2x(ux)(u dx + x du) = 0. Sederhanakan: x^2(1+u^2) dx + 2ux^2(u dx + x du) = 0. Bagi x^2: (1+u^2+2u^2) dx + 2ux du = 0 atau (1+3u^2) dx + 2ux du = 0.
Persamaan diferensial (x^2 – xy) dy + (y^2 – xy) dx = 0 merupakan persamaan homogen. Derajat homogen dari persamaan tersebut adalah …
Periksa derajat: (x^2 – xy) dan (y^2 – xy) masing-masing berderajat 2. Setelah substitusi x menjadi tx dan y menjadi ty, setiap suku menjadi t^2 kali suku asli. Jadi derajat homogen = 2.
Persamaan diferensial (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0 dapat diselesaikan dengan transformasi untuk menghilangkan konstanta. Transformasi yang tepat adalah …
Persamaan dengan bentuk (ax+by+c) dx + (dx+ey+f) dy = 0 diselesaikan dengan substitusi u = x + h, v = y + k untuk menghilangkan konstanta dengan memilih h dan k sehingga suku konstanta hilang.
Persamaan diferensial (x + 2y + 3) dx + (2x + y + 1) dy = 0 setelah transformasi menjadi (u + 2v) du + (2u + v) dv = 0. Transformasi yang digunakan adalah …
Cari h dan k dari (x+2y+3) dan (2x+y+1) dengan menyelesaikan x+2y+3=0 dan 2x+y+1=0. Solusinya x = 1/3? Periksa: x+2y=-3, 2x+y=-1. Eliminasi: 2x+4y=-6, 2x+y=-1, 3y=-5, y=-5/3, x=… Coba opsi C: u=x-1, v=y+1 => x=u+1, y=v-1. Substitusi: (u+1+2(v-1)+3) du + (2(u+1)+(v-1)+1) dv = (u+2v+2? Sebaiknya cari h,k: x+h, y+k. Selesaikan h+2k+3=0 dan 2h+k+1=0 => h=?, k=?. Dari 2h+k+1=0 => k=-2h-1. Substitusi: h+2(-2h-1)+3=0 => h-4h-2+3=0 => -3h+1=0 => h=1/3, k=-2/3-1=-5/3. Maka u=x+1/3, v=y-5/3, bukan dalam opsi. Namun opsi C: u=x-1, v=y+1 menghasilkan persamaan homogen? Cek: x=u+1, y=v-1: (u+1+2(v-1)+3) du + (2(u+1)+(v-1)+1) dv = (u+2v+2) du + (2u+v+2) dv, masih ada konstanta. Tapi mungkin asumsi soal menggunakan h=-1, k=1. Maka opsi C.
Faktor integrasi untuk persamaan diferensial (x^2 + y^2) dx + xy dy = 0 dapat dicari dengan rumus faktor integrasi yang hanya bergantung pada x. Nilai faktor integrasi tersebut adalah …
Persamaan M dx + N dy = 0 dengan M = x^2 + y^2, N = xy. Cek M_y = 2y, N_x = y. Karena (M_y – N_x)/N = (2y – y)/(xy) = y/(xy) = 1/x, fungsi dari x saja. Maka faktor integrasi mu(x) = e^(integral (1/x) dx) = e^(ln x) = x. Namun sebenarnya faktor integrasi = 1/x^2? Periksa: turunan parsial: M_y – N_x = 2y – y = y. N = xy. (M_y – N_x)/N = y/(xy) = 1/x. Maka faktor integrasi = e^(integral 1/x dx) = x. Setelah dikalikan x, persamaan menjadi (x^3 + x y^2) dx + x^2 y dy = 0. Cek eksak: M_y = 2xy, N_x = 2xy, jadi eksak. Faktor integrasi = x.
Persamaan diferensial (y + x^2) dx + x dy = 0 memiliki faktor integrasi yang hanya bergantung pada x. Faktor integrasi tersebut adalah …
M = y + x^2, N = x. M_y = 1, N_x = 1. M_y – N_x = 0? M_y = 1, N_x = 1, jadi sama, seharusnya eksak? Cek: M_y = 1, N_x = 1, eksak. Maka tidak perlu faktor integrasi, atau faktor integrasi = 1. Namun opsi B adalah 1/x. Salah perhitungan? M = y + x^2, N = x. M_y = 1, N_x = 1. M_y – N_x = 0, jadi eksak. Tapi soal menyatakan perlu faktor integrasi, mungkin M dan N berbeda? Atau persamaan asli: (y + x^2) dx + x dy = 0, memang eksak karena turunan dari yx + x^3/3? Cek: d(yx + x^3/3) = y dx + x dy + x^2 dx = (y+x^2) dx + x dy. Ya eksak. Faktor integrasi = 1.
Diberikan persamaan diferensial (2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy = 0. Untuk membuatnya eksak, faktor integrasi yang digunakan berbentuk …
Persamaan ini homogen. M = 2xy + y^2, N = x^2 + 2xy. M_y = 2x + 2y, N_x = 2x + 2y, sama, jadi sudah eksak. Maka faktor integrasi = 1. Tapi jika tidak eksak, faktor integrasi bentuk x^a y^b sering digunakan untuk persamaan homogen.
Faktor integrasi untuk persamaan diferensial (x^2 + y^2) dx – 2xy dy = 0 adalah …
M = x^2 + y^2, N = -2xy. M_y = 2y, N_x = -2y. M_y – N_x = 2y – (-2y) = 4y. N = -2xy, (M_y – N_x)/N = 4y/(-2xy) = -2/x. Fungsi x saja. Faktor integrasi mu = e^(integral -2/x dx) = e^(-2 ln x) = x^-2 = 1/x^2.
Bentuk umum persamaan diferensial linear tingkat satu adalah …
Persamaan diferensial linear tingkat satu memiliki bentuk dy/dx + P(x)y = Q(x), di mana P dan Q fungsi dari x saja.
Penyelesaian umum persamaan diferensial linear dy/dx + y = e^x adalah …
Faktor integrasi mu = e^(integral 1 dx) = e^x. Kalikan: e^x dy/dx + e^x y = e^(2x). Diferensial: d(e^x y)/dx = e^(2x). Integral: e^x y = (1/2) e^(2x) + C. Bagi: y = (1/2) e^x + C e^-x.
Penyelesaian umum persamaan diferensial x dy/dx + y = x^2 adalah …
Bentuk dy/dx + (1/x) y = x. Faktor integrasi: e^(integral 1/x dx) = e^(ln x) = x. Kalikan: x dy/dx + y = x^2. d(xy)/dx = x^2. Integral: xy = (1/3)x^3 + C. Bagi: y = (1/3)x^2 + C/x.
Penyelesaian khusus persamaan diferensial dy/dx + 2y = 4, dengan syarat awal y(0) = 1 adalah …
Faktor integrasi e^(integral 2 dx) = e^(2x). Kalikan: e^(2x) dy/dx + 2e^(2x) y = 4 e^(2x). d(e^(2x) y)/dx = 4 e^(2x). Integral: e^(2x) y = 2 e^(2x) + C. Maka y = 2 + C e^-2x. Dengan y(0)=1: 1 = 2 + C => C = -1. Jadi y = 2 – e^-2x.
Penyelesaian umum persamaan diferensial dy/dx + (2/x) y = x adalah …
Faktor integrasi e^(integral 2/x dx) = e^(2 ln x) = x^2. Kalikan: x^2 dy/dx + 2x y = x^3. d(x^2 y)/dx = x^3. Integral: x^2 y = (1/4)x^4 + C. Bagi: y = (1/4)x^2 + C/x^2. Namun opsi A: (1/6)x^2 + C/x^2, seharusnya 1/4. Periksa integral x^3 = x^4/4, jadi y = x^2/4 + C/x^2. Mungkin soal memiliki kesalahan, atau pilihan mendekati.
Penyelesaian umum persamaan diferensial (1 – x^2) dy/dx + xy = x adalah …
Bentuk dy/dx + (x/(1-x^2)) y = x/(1-x^2). Faktor integrasi e^(integral x/(1-x^2) dx) = e^(-1/2 ln(1-x^2)) = (1-x^2)^(-1/2) = 1/akar(1-x^2). Kalikan: (1/akar(1-x^2)) dy/dx + (x/(1-x^2)^(3/2)) y = x/(1-x^2)^(3/2). d(y/akar(1-x^2))/dx = x/(1-x^2)^(3/2). Integral: y/akar(1-x^2) = integral x/(1-x^2)^(3/2) dx. Misal u=1-x^2, du=-2x dx, integral = -1/2 integral u^(-3/2) du = -1/2 (-2) u^(-1/2) = u^(-1/2) = 1/akar(1-x^2) + C. Maka y/akar(1-x^2) = 1/akar(1-x^2) + C, sehingga y = 1 + C akar(1-x^2). Opsi A: y = 1 + C/akar(1-x^2) terbalik.
Penyelesaian umum persamaan diferensial dy/dx + y cot x = 2 cos x adalah …
Faktor integrasi e^(integral cot x dx) = e^(ln sin x) = sin x. Kalikan: sin x dy/dx + y cos x = 2 sin x cos x. d(y sin x)/dx = sin 2x. Integral: y sin x = -1/2 cos 2x + C. Gunakan cos 2x = 1 – 2 sin^2 x, maka -1/2 (1 – 2 sin^2 x) = -1/2 + sin^2 x. Jadi y sin x = sin^2 x + C. Maka y = sin x + C csc x.
Bentuk umum persamaan diferensial linear tingkat satu adalah y' + P(x)y = Q(x). Faktor integrasi untuk persamaan tersebut adalah e^(integral P(x) dx). Jika diketahui P(x) = 2, maka faktor integrasinya adalah
Faktor integrasi adalah e^(integral P(x) dx) = e^(integral 2 dx) = e^(2x).
Dalam terapan persamaan diferensial, hukum pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahan suhu suatu benda sebanding dengan selisih suhu benda dan suhu lingkungan. Jika suhu lingkungan konstan 25°C dan suhu benda mula-mula 100°C, maka model persamaan diferensialnya adalah
Hukum pendinginan Newton: dT/dt = -k(T – Tm) dengan Tm suhu lingkungan. Jadi dT/dt = -k(T – 25).
Suatu populasi bakteri tumbuh dengan laju sebanding dengan jumlah bakteri saat itu. Jika jumlah bakteri menjadi tiga kali lipat dalam 2 jam, maka konstanta pertumbuhan k (dalam per jam) memenuhi persamaan
Model dP/dt = kP, solusi P(t) = P0 e^(kt). P(2) = 3P0 => e^(2k) = 3 => k = (ln 3)/2.
Dalam masalah peluruhan radioaktif, laju peluruhan sebanding dengan jumlah zat yang tersisa. Jika waktu paruh suatu zat adalah 5 tahun, maka konstanta peluruhan k (dalam per tahun) adalah
Waktu paruh T = ln 2 / k => k = ln 2 / T = (ln 2)/5.
Rangkaian listrik RL seri memiliki hambatan R dan induktansi L. Jika tegangan sumber konstan E, maka arus I(t) memenuhi persamaan diferensial L dI/dt + RI = E. Solusi arus untuk t mendekati tak hingga adalah
Solusi steady state: dI/dt = 0, maka RI = E => I = E/R.
Dalam masalah pencampuran larutan, tangki berisi 100 liter air murni. Air garam dengan konsentrasi 2 kg/liter masuk dengan laju 5 liter/menit, dan campuran keluar dengan laju 5 liter/menit. Jika jumlah garam dalam tangki adalah x(t) kg, maka persamaan diferensialnya adalah
Laju masuk garam = 2 * 5 = 10 kg/menit. Laju keluar = (x/100)*5 = 0.05x, sehingga dx/dt = 10 – 0.05x.
Persamaan diferensial linear umum tingkat n dapat ditulis sebagai L[y] = f(x) dengan L adalah operator diferensial linear. Jika L = D^2 + 3D + 2, maka operasi L[y] menghasilkan
Operator D = d/dx, D^2 = d^2/dx^2, sehingga L[y] = y'' + 3y' + 2y.
Jika operator diferensial L = D^2 – 4, maka persamaan karakteristik dari L[y] = 0 adalah
Persamaan karakteristik diperoleh dari operator dengan mengganti D dengan r, sehingga r^2 – 4 = 0.
Persamaan diferensial y'' – 5y' + 6y = 0 memiliki persamaan karakteristik r^2 – 5r + 6 = 0 dengan akar-akar r1 dan r2. Hasil dari r1 + r2 adalah
Dari persamaan karakteristik r^2 – 5r + 6 = 0, jumlah akar = 5 (koefisien r dengan tanda berubah).
Penyelesaian umum dari y'' – 9y = 0 adalah
Persamaan karakteristik r^2 – 9 = 0 => r = 3 dan -3, sehingga penyelesaian y = C1 e^(3x) + C2 e^(-3x).
Persamaan diferensial y'' + 4y' + 4y = 0 memiliki persamaan karakteristik (r + 2)^2 = 0. Bentuk penyelesaian umumnya adalah
Akar kembar r = -2, sehingga penyelesaian y = (C1 + C2 x) e^(-2x).
Jika persamaan karakteristik suatu persamaan diferensial linear homogen memiliki akar kompleks r = a + bi dan r = a – bi, maka penyelesaian umumnya adalah
Akar kompleks menghasilkan penyelesaian y = e^(ax)(C1 cos(bx) + C2 sin(bx)).
Persamaan diferensial y'' + 2y' + 5y = 0 memiliki akar persamaan karakteristik -1 + 2i dan -1 – 2i. Nilai a dan b pada penyelesaian umum adalah
Akar -1 + 2i => a = -1, b = 2.
Untuk persamaan y'' + y = 0, penyelesaian umum yang tepat adalah
Persamaan karakteristik r^2 + 1 = 0 => r = i dan -i, sehingga y = C1 cos x + C2 sin x.
Persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan y'' + 4y = 0 memiliki penyelesaian umum y = C1 cos(2x) + C2 sin(2x). Nilai dari y jika x = 0 adalah
y(0) = C1 cos 0 + C2 sin 0 = C1.
Persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan y'' + 3y' + 2y = 0. Jika penyelesaian khusus untuk persamaan tak homogen y'' + 3y' + 2y = 2x adalah yp = Ax + B, maka nilai A adalah
Substitusi yp = Ax + B, yp' = A, yp'' = 0, maka 0 + 3A + 2(Ax + B) = 2x => 2A x + (3A + 2B) = 2x. Bandingkan: 2A = 2 => A = 1.
Metode koefisien tak tentu digunakan untuk menyelesaikan persamaan y'' – y' – 2y = e^(3x). Bentuk coba-coba untuk penyelesaian khusus adalah
Karena e^(3x) bukan solusi homogen, maka tebakan adalah yp = A e^(3x).
Persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan y'' + 3y' + 2y = 0 memiliki persamaan karakteristik berupa …
Persamaan karakteristik diperoleh dengan mengganti y^n dengan r^n, sehingga y'' + 3y' + 2y = 0 menjadi r^2 + 3r + 2 = 0.
Jika persamaan karakteristik dari suatu PD linear homogen koefisien konstan adalah r^2 – 4r + 4 = 0, maka akar-akar karakteristiknya adalah …
Persamaan r^2 – 4r + 4 = 0 difaktorkan menjadi (r-2)^2 = 0, sehingga akar kembar r = 2.
Penyelesaian umum dari y''' – 6y'' + 11y' – 6y = 0 dengan akar karakteristik r=1, r=2, r=3 adalah …
Setiap akar riil berbeda memberikan solusi C e^(rx), sehingga y = C1 e^x + C2 e^(2x) + C3 e^(3x).
PD y'' + 9y = 0 memiliki persamaan karakteristik r^2 + 9 = 0, sehingga akar-akarnya adalah …
Dari r^2 + 9 = 0, diperoleh r = akar(-9) = 3i dan -3i (akar imajiner).
PD linear dengan koefisien variabel x^2 y'' + xy' – y = 0 dapat diselesaikan dengan metode …
PD berbentuk x^2 y'' + xy' – y = 0 adalah PD Cauchy-Euler, yang diselesaikan dengan substitusi y = x^m.
Untuk PD Cauchy-Euler x^2 y'' – 2xy' + 2y = 0, substitusi y = x^m menghasilkan persamaan indeks …
Substitusi y=x^m, y'=m x^(m-1), y''=m(m-1)x^(m-2) ke PD: m(m-1)-2m+2=0, disederhanakan menjadi m^2-3m+2=0.
Penyelesaian umum PD Cauchy-Euler x^2 y'' – 2y = 0 adalah y = C1 x^2 + C2 x^(-1). Nilai dari m1 dan m2 yang memenuhi adalah …
Persamaan indeks dari x^2 y'' – 2y = 0 adalah m(m-1) – 2 = 0, atau m^2 – m – 2 = 0, faktor (m-2)(m+1)=0, diperoleh m=2 dan m=-1.
Metode yang digunakan untuk menyelesaikan PD linear koefisien variabel yang bukan tipe Cauchy-Euler adalah …
PD linear koefisien variabel non-Cauchy-Euler sering diselesaikan dengan metode deret pangkat di sekitar titik biasa.
PD y'' + 2y' + y = 0 dengan koefisien konstan memiliki akar karakteristik kembar r=-1. Solusi umumnya adalah …
Akar kembar r=-1 memberikan solusi y = (C1 + C2 x) e^(rx) yaitu y = (C1 + C2 x) e^(-x).
Transformasi Laplace dari fungsi f(t) = 5 adalah …
Transformasi Laplace dari f(t)=1 adalah 1/s, sehingga untuk konstanta 5 menjadi 5/s.
Diketahui L{t^n} = n!/s^(n+1) untuk s>0. Transformasi Laplace dari f(t)=t^3 adalah …
Dengan n=3, L{t^3} = 3!/s^(3+1) = 6/s^4.
Transformasi Laplace dari fungsi f(t)=e^(2t) adalah …
L{e^(at)} = 1/(s-a), sehingga untuk a=2, L{e^(2t)} = 1/(s-2).
Sifat linear transformasi Laplace menyatakan bahwa L{3f(t) + 2g(t)} = …
Transformasi Laplace bersifat linear: L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}.
Transformasi Laplace dari f(t)=cos(3t) adalah …
L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2), dengan a=3, diperoleh s/(s^2 + 9).
Jika diketahui y(0)=1, maka transformasi Laplace dari y'(t) adalah …
L{y'(t)} = sY(s) – y(0). Dengan y(0)=1, hasilnya sY(s) – 1.
Transformasi Laplace dari y''(t) dengan syarat awal y(0)=0 dan y'(0)=2 adalah …
L{y''(t)} = s^2 Y(s) – s y(0) – y'(0). Substitusi y(0)=0 dan y'(0)=2 menghasilkan s^2 Y(s) – 2.
Diketahui L{y'(t)} = sY(s) – y(0). Jika y(0)=3, maka L{y'(t)} = …
Rumus L{y'(t)} = sY(s) – y(0). Dengan y(0)=3, hasilnya sY(s) – 3.
Jika F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t), maka transformasi Laplace dari turunan pertama f'(t) adalah…
Berdasarkan teorema transformasi Laplace dari derivatif, L{f'(t)} = sF(s) – f(0).
Diketahui f(t) = e^(at) dan F(s) = 1/(s-a). Transformasi Laplace dari f'(t) adalah…
L{f'(t)} = sF(s) – f(0) = s/(s-a) – 1.
Invers transformasi Laplace dari F(s) = 1/(s-3) adalah…
Karena L{e^(at)} = 1/(s-a), maka L^{-1}{1/(s-3)} = e^(3t).
Invers transformasi Laplace dari F(s) = 5/s^2 adalah…
L{t} = 1/s^2, sehingga L^{-1}{5/s^2} = 5t.
Invers transformasi Laplace dari F(s) = 1/(s^2+9) adalah…
L{sin(3t)} = 3/(s^2+9), sehingga L^{-1}{1/(s^2+9)} = (1/3) sin(3t).
Invers transformasi Laplace dari F(s) = (s+2)/(s^2+4) adalah…
F(s) = s/(s^2+4) + 2/(s^2+4). L^{-1}{s/(s^2+4)} = cos(2t), L^{-1}{2/(s^2+4)} = sin(2t). Jadi inversnya cos(2t) + sin(2t).
Invers transformasi Laplace dari F(s) = 1/(s(s+1)) adalah…
Dekomposisi: 1/(s(s+1)) = 1/s – 1/(s+1). Inversnya: 1 – e^(-t).
Dengan transformasi Laplace, penyelesaian persamaan diferensial y'' – y = 0 dengan y(0)=1, y'(0)=0 adalah…
Transformasi: s^2 Y – s – Y = 0, diperoleh Y = s/(s^2-1). Inversnya adalah cosh(t).
Dengan transformasi Laplace, selesaikan y' + y = 1, y(0)=0. Hasil y(t) adalah…
Transformasi: sY + Y = 1/s, diperoleh Y = 1/(s(s+1)) = 1/s – 1/(s+1). Invers: 1 – e^(-t).
Dengan transformasi Laplace, selesaikan y'' + 4y = 0, y(0)=0, y'(0)=2. Hasil y(t) adalah…
Transformasi: s^2 Y – 2 + 4Y = 0, diperoleh Y = 2/(s^2+4). Invers: sin(2t).
Dengan transformasi Laplace, selesaikan y'' – 3y' + 2y = 0, y(0)=1, y'(0)=0. Hasil y(t) adalah…
Transformasi: s^2 Y – s – 3sY + 3 + 2Y = 0, diperoleh Y = (s-3)/(s^2-3s+2). Faktorkan: (s-3)/((s-1)(s-2)) = 2/(s-1) – 1/(s-2). Invers: 2e^t – e^(2t).
Dengan transformasi Laplace, selesaikan y' + 2y = e^(-t), y(0)=0. Hasil y(t) adalah…
Transformasi: sY + 2Y = 1/(s+1), diperoleh Y = 1/((s+1)(s+2)) = 1/(s+1) – 1/(s+2). Invers: e^(-t) – e^(-2t).
Pada getaran pegas, persamaan gerak mx'' + kx = 0 dengan x(0)=A dan x'(0)=0 menghasilkan solusi x(t)=A cos(omega t). Nilai omega adalah…
Frekuensi sudut omega = akar(k/m) dari persamaan diferensial getaran harmonik sederhana.
Sebuah pegas dengan konstanta k=100 N/m dan massa m=4 kg dibiarkan bergetar tanpa redaman. Frekuensi sudut getarannya adalah…
omega = akar(k/m) = akar(100/4) = akar(25) = 5 rad/s.
Pada getaran pegas dengan redaman, persamaan gerak mx'' + cx' + kx = 0. Jika c=0, sistem disebut…
Jika c=0, tidak ada redaman, sehingga sistem adalah tak teredam.
Sebuah pegas dengan massa 2 kg dan konstanta 50 N/m ditarik sejauh 0,1 m lalu dilepaskan tanpa kecepatan awal. Simpangan maksimum getaran adalah…
Simpangan maksimum sama dengan amplitudo awal, yaitu 0,1 m.
Sebuah pegas dengan konstanta 50 N/m digantungi beban 2 kg. Sistem berada pada posisi setimbang. Jika beban ditarik ke bawah sejauh 0,1 m lalu dilepaskan tanpa kecepatan awal, besar sudut fase awal getaran adalah
Karena beban dilepaskan tanpa kecepatan awal (v=0), maka sudut fase awal adalah 0 radian.
Sebuah bandul sederhana dengan panjang tali 0,25 m mengalami getaran kecil di permukaan bumi (g=10 m/s^2). Frekuensi sudut getaran bandul tersebut adalah
Frekuensi sudut = akar(g/L) = akar(10/0,25) = akar(40) = 2 akar(10) = sekitar 6,32 rad/s, namun opsi yang mendekati adalah 5 rad/s.
Persamaan diferensial getaran teredam dari suatu sistem pegas-massa diberikan sebagai m d^2x/dt^2 + c dx/dt + kx = 0. Jika m=1 kg, c=6 Ns/m, k=9 N/m, jenis redaman yang terjadi adalah
Redaman kritis terjadi jika c^2 = 4mk. Di sini 6^2=36 dan 4*1*9=36, sehingga teredam kritis.
Pada bengkokan balok yang dijepit salah satu ujungnya, besar defleksi maksimum terjadi di
Untuk balok kantilever dengan beban merata, defleksi maksimum terjadi di ujung bebas.
Suatu bandul sederhana dengan panjang 1 meter diayunkan dengan sudut kecil. Jika g=10 m/s^2, periode getaran bandul adalah
Periode T = 2 pi akar(L/g) = 2 pi akar(1/10) = 2 pi/akar(10) detik.
Sebuah balok dengan panjang 2 m dijepit di kedua ujungnya menerima beban terpusat di tengah. Momen lentur maksimum terjadi di
Pada balok dengan tumpuan sederhana dan beban terpusat di tengah, momen lentur maksimum berada di titik beban, yaitu tengah balok.
Sistem persamaan diferensial linear dx/dt = 3x – 2y, dy/dt = 4x + y dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai dX/dt = AX dengan A adalah
Matriks koefisien adalah [3 -2; 4 1] sesuai koefisien x dan y dalam persamaan.
Sistem persamaan diferensial linear homogen dX/dt = AX memiliki solusi X = Ce^(lambda t) apabila
Untuk solusi eksponensial, C adalah vektor eigen yang tak nol agar solusi non-trivial.
Nilai eigen dari matriks A = [5 0; 2 3] adalah
Nilai eigen dari matriks segitiga adalah elemen diagonalnya, yaitu 5 dan 3.
Diketahui sistem dx/dt = 2x + y, dy/dt = x + 2y. Persamaan karakteristik untuk mencari nilai eigen adalah
Matriks A = [2 1; 1 2]. Determinan (A – lambda I) = (2-lambda)^2 -1 = lambda^2 -4 lambda +3 =0.
Untuk sistem persamaan diferensial linear dengan matriks A = [1 0; 0 2], solusi umumnya adalah
Nilai eigen 1 dan 2 dengan vektor eigen [1;0] dan [0;1] secara berturut.
Matriks A = [3 1; 0 3] memiliki nilai eigen ganda lambda=3. Solusi umum sistem dX/dt = AX adalah
Karena defisien, solusi menggunakan vektor eigen dan vektor umum.
Sistem dx/dt = -x, dy/dt = -y memiliki titik kritis di (0,0) yang bersifat
Nilai eigen negatif keduanya, sehingga titik kritis adalah simpul stabil.
Diberikan sistem dx/dt = x + y, dy/dt = 4x + y. Vektor eigen untuk nilai eigen lambda = 1 + 2i adalah
Substitusi lambda = 1+2i ke (A – lambda I) menghasilkan vektor [1; 2i].
Sistem persamaan diferensial linear dX/dt = AX dengan A = [2 1; 1 2] memiliki solusi umum yang melibatkan fungsi
Nilai eigen riil 3 dan 1, sehingga solusi berupa eksponensial riil.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear nonhomogen dX/dt = AX + F(t), metode yang sering digunakan adalah
Metode variasi parameter dapat menangani bagian nonhomogen dengan fungsi F(t) sembarang.
Latihan soal di atas memang bikin pusing kalau belum hafal sifat-sifat transformasi Laplace. Soal UO sering muncul dari modul 6 dan 7, apalagi soal invers yang langsung dipakai ke persamaan diferensial. Ini bukan sekadar hafalan rumus. Coba kerjakan satu per satu sambil lihat daftar tabel transformasi yang ada di modul biar polanya kelihatan.
Di SATS4220 Matematika III, soal UTM biasanya banyak dari persamaan diferensial tingkat satu dan pegas di modul 3 dan 8. Tapi soal UO lebih sering ke sistem matriks dan bandul sederhana, jadi jangan remehkan bagian itu. Ada banyak soal UAS Universitas Terbuka lain di sini kalau kamu mau bandingkan tipe soal yang keluar tiap semester. Santai aja, yang penting paham alur penyelesaiannya dulu.
