Banyak mahasiswa UT yang salah paham antara probabilitas bersyarat di Modul 1 dengan teorema Bayes di Modul 4. Padahal keduanya adalah fondasi buat memahami SATS4324 Inferensi Bayesian secara utuh. Sering terkecoh karena rumusnya mirip. Contoh soal UT di halaman ini langsung menguji kemampuan bedain mana prior dan posterior dari kasus yang dikasih. Cocok buat latihan sebelum UAS.
Modul 2 tentang variabel random diskret dan Modul 5 tentang distribusi posterior binomial sering jadi andalan soal ujian. Keduanya nyambung banget, apalagi kalau udah masuk ke fungsi distribusi gabungan di Modul 3. Kuncinya ada di pola pikir Bayesian. Latihan soal Statistika ini sengaja dirancang per KB biar kamu gampang lacak kelemahan sendiri.
Soal UAS UT di bawah ini mencakup pohon keputusan dari Modul 7 dan analisis posterior di Modul 8. Setiap soal saya lengkapi dengan kunci jawaban dan pembahasan langkah demi langkah. Jangan cuma lihat jawabannya, tapi baca juga alasan kenapa itu benar. Bank soal UAS UT ini bisa jadi teman belajar paling efektif kamu.
Soal UT SATS4324 Inferensi Bayesian
Dalam suatu percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam, ruang sampel yang tepat adalah…
Ruang sampel adalah kumpulan semua hasil yang mungkin. Dadu bersisi enam memiliki sisi 1 hingga 6.
Jika P(A)=0,6 dan P(B)=0,3 dengan A dan B saling lepas, maka peluang P(A∪B) adalah…
Karena A dan B saling lepas, maka P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,6+0,3=0,9.
Variabel random diskret yang menyatakan jumlah sisi gambar pada pelemparan 3 koin setimbang memiliki nilai harapan sebesar…
Nilai harapan untuk variabel binomial dengan n=3 dan p=0,5 adalah np=3×0,5=1,5.
Fungsi kepadatan probabilitas f(x)=3x² untuk 0<x<1. Nilai P(0,2<X<0,5) adalah…
P(0,2<X<0,5)=∫(0,2 hingga 0,5) 3x² dx = [x³] dari 0,2 hingga 0,5 = 0,125 − 0,008 = 0,117.
Fungsi distribusi gabungan F(x,y) digunakan untuk menggambarkan…
Fungsi distribusi gabungan menjelaskan distribusi probabilitas bersama dari dua atau lebih variabel random.
Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal ketika…
Teorema Limit Pusat berlaku ketika ukuran sampel cukup besar, biasanya n≥30, sehingga distribusi sampling rata-rata mendekati normal.
Dalam analisis Bayesian diskret, prior distribusi untuk parameter θ diperbarui menjadi distribusi posterior melalui…
Teorema Bayes adalah landasan inferensi Bayesian yang menggabungkan prior dengan likelihood untuk menghasilkan posterior.
Jika data mengikuti distribusi Poisson dengan parameter λ dan prior Gamma, distribusi posterior untuk λ juga akan menjadi…
Prior Gamma bersifat conjugate untuk likelihood Poisson, sehingga posteriornya juga Gamma.
Untuk model Bernoulli dengan prior Beta(α,β), distribusi posterior setelah mengamati x sukses dari n percobaan adalah…
Prior Beta merupakan conjugate untuk likelihood Bernoulli, sehingga posterior Beta dengan parameter diperbarui.
Dalam inferensi Bayesian untuk distribusi Normal dengan varians diketahui, prior konjugat untuk mean adalah…
Distribusi Normal adalah prior konjugat untuk mean dari distribusi Normal dengan varians diketahui.
Dalam teori keputusan, risiko dari suatu keputusan didefinisikan sebagai…
Risiko adalah nilai harapan dari fungsi kerugian terhadap distribusi parameter.
Keputusan dengan ketidakpastian dibuat ketika pengambil keputusan…
Ketidakpastian berarti probabilitas dari kejadian masa depan tidak diketahui atau tidak dapat diperkirakan.
Dalam pohon keputusan, simpul yang menunjukkan titik di mana keputusan dibuat disebut…
Simpul keputusan biasanya digambarkan dengan persegi, mewakili pilihan yang dapat diambil oleh pengambil keputusan.
Teori kegunaan (utility theory) digunakan untuk mengkuantifikasi preferensi pengambil keputusan terhadap hasil yang…
Teori kegunaan membantu mengekspresikan preferensi terhadap hasil yang tidak pasti dengan fungsi kegunaan.
Dalam analisis posterior, distribusi posterior digunakan untuk membuat keputusan berdasarkan…
Distribusi posterior mengintegrasikan data sampel dengan informasi prior untuk inferensi dan keputusan.
Dalam analisis regresi Bayesian, distribusi posterior dari koefisien regresi diperoleh dengan menggabungkan prior dan…
Seperti pada inferensi Bayesian umumnya, posterior diperoleh dari prior dikalikan likelihood data.
Pendekatan matriks dalam regresi Bayesian memudahkan perhitungan karena…
Notasi matriks memungkinkan penulisan model regresi secara ringkas dan perhitungan yang efisien.
Dalam suatu percobaan pelemparan dua dadu setimbang, ruang sampel yang mungkin adalah himpunan pasangan terurut (x,y) dengan x dan y masing-masing mata dadu. Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel tersebut adalah…
Ruang sampel dua dadu terdiri dari 6×6 = 36 kemungkinan pasangan mata dadu.
Diketahui P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, dan P(A∩B) = 0,2. Nilai dari P(A|B) adalah…
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0,2/0,5 = 0,4.
Variabel random diskret X memiliki fungsi massa probabilitas P(X=x) = (x+1)/6 untuk x = 0,1,2. Nilai P(X=1) adalah…
P(X=1) = (1+1)/6 = 2/6 = 1/3.
Fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu X adalah f(x)=2x untuk 0<x<1. Nilai harapan E(X) adalah…
E(X) = ∫0^1 x·2x dx = 2∫0^1 x² dx = 2·(1/3) = 2/3.
Jika X dan Y adalah variabel random dengan fungsi distribusi gabungan F(x,y), maka fungsi distribusi marginal dari X adalah…
Distribusi marginal X diperoleh dengan mengintegralkan atau menjumlahkan terhadap semua kemungkinan Y, yaitu F(x,∞).
Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa jika n cukup besar, distribusi rata-rata sampel akan mendekati distribusi…
Teorema Limit Pusat menyatakan rata-rata sampel mendekati distribusi normal untuk n besar.
Dalam analisis Bayesian diskret, prior untuk parameter θ adalah P(θ=0,2)=0,3 dan P(θ=0,5)=0,7. Jika likelihood data adalah P(data|θ=0,2)=0,1 dan P(data|θ=0,5)=0,4, maka posterior P(θ=0,5|data) adalah…
Posterior ∝ prior × likelihood. P(data)=0,3×0,1+0,7×0,4=0,03+0,28=0,31. P(θ=0,5|data)=0,28/0,31≈0,90.
Distribusi Poisson memiliki mean dan varians sama dengan λ.
Dalam inferensi Bayesian untuk parameter θ dari distribusi Bernoulli dengan prior Beta(α,β), distribusi posterior dari θ juga akan mengikuti distribusi…
Prior Beta merupakan conjugate prior untuk Bernoulli sehingga posterior juga Beta.
Untuk data berdistribusi Normal dengan mean μ dan varians σ² diketahui, jika prior untuk μ adalah Normal, maka posterior untuk μ adalah…
Prior Normal adalah conjugate prior untuk mean Normal sehingga posterior juga Normal.
Dalam teori keputusan, fungsi kerugian yang mengkuadratkan selisih antara estimasi dan parameter sebenarnya disebut…
Kerugian kuadrat didefinisikan sebagai L(θ,a) = (θ-a)².
Dalam pembuatan keputusan dengan risiko, kriteria yang memilih tindakan dengan nilai harapan kerugian terkecil disebut…
Kriteria expected monetary value memilih tindakan dengan nilai harapan tertinggi atau kerugian terkecil.
Dalam analisis pohon keputusan, titik di mana keputusan dibuat digambarkan dengan…
Simpul persegi (atau kotak) biasanya digunakan untuk simpul keputusan dalam pohon keputusan.
Fungsi kegunaan (utility function) yang linear menunjukkan bahwa pengambil keputusan bersikap…
Fungsi utilitas linear mengindikasikan sikap netral terhadap risiko.
Dalam teori keputusan Bayesian, aturan keputusan Bayes adalah yang meminimumkan…
Aturan keputusan Bayes adalah yang meminimumkan risiko Bayes, yaitu rata-rata risiko posterior.
Dalam analisis posterior, distribusi posterior digunakan untuk membuat pernyataan probabilitas tentang parameter setelah data diamati. Pernyataan interval yang memuat parameter dengan probabilitas tertentu disebut…
Interval kredibel adalah padanan Bayesian dari interval kepercayaan.
Dalam analisis regresi Bayesian, jika prior untuk koefisien regresi β adalah distribusi Normal dengan mean 0 dan varians besar, maka posterior β akan didominasi oleh…
Prior dengan varians besar bersifat non-informatif, sehingga posterior didominasi oleh data.
Dalam suatu percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang, ruang sampel (S) didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan (a,b) dengan a dan b adalah mata dadu yang muncul. Berapakah jumlah total elemen dalam ruang sampel tersebut?
Ruang sampel untuk dua dadu adalah 6 x 6 = 36 kemungkinan hasil.
Dari sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 2 bola biru, diambil dua bola tanpa pengembalian. Jika diketahui bola pertama yang terambil adalah merah, berapakah probabilitas bersyarat bahwa bola kedua juga merah?
Setelah mengambil satu bola merah, tersisa 2 merah dan 2 biru (total 4). Peluang bola kedua merah adalah 2/4 = 1/2.
Sebuah variabel random diskret X memiliki fungsi massa probabilitas f(x)=k/x untuk x=1,2,3, dan f(x)=0 untuk lainnya. Nilai k yang memenuhi adalah…
Jumlah probabilitas harus 1, maka k(1 + 1/2 + 1/3)=1 -> k(11/6)=1 -> k=6/11.
Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari variabel random kontinu X adalah F(x)=0 untuk x<0, F(x)=x^2 untuk 0≤x≤1, dan F(x)=1 untuk x>1. Berapakah P(0,2 < X ≤ 0,5)?
P(0,2 < X ≤ 0,5) = F(0,5) – F(0,2) = (0,5)^2 – (0,2)^2 = 0,25 – 0,04 = 0,21.
Diketahui fungsi distribusi gabungan f(x,y)=cxy untuk x=1,2 dan y=1,2,3. Nilai c agar f(x,y) merupakan fungsi probabilitas gabungan yang sah adalah…
Jumlah semua f(x,y)=c[(1*1)+(1*2)+(1*3)+(2*1)+(2*2)+(2*3)]=c(1+2+3+2+4+6)=18c=1, maka c=1/18.
X dan Y adalah variabel random dengan E[X]=3 dan E[Y]=5. Berapakah E[2X + 3Y – 1]?
E[2X+3Y-1] = 2E[X] + 3E[Y] – 1 = 2(3) + 3(5) – 1 = 6 + 15 – 1 = 20.
Diketahui distribusi prior untuk parameter θ adalah seragam pada interval [0,1]. Jika diamati data x dari distribusi Binomial(n,θ) dengan n=1 dan x=1, berapakah distribusi posterior untuk θ?
Prior Beta(1,1) dan data x=1 dari Binomial(1,θ) menghasilkan posterior Beta(1+1, 1-1+1) = Beta(2,1).
Distribusi ramalan (prediktif) untuk pengamatan masa depan y dalam analisis Bayesian diskret diperoleh dengan mengintegralkan terhadap…
Distribusi ramalan diperoleh dari f(y|data) = ∫ f(y|θ) π(θ|data) dθ, yaitu dengan mengintegralkan terhadap distribusi posterior.
Dalam inferensi Bayesian untuk parameter λ dari distribusi Poisson, jika prior yang digunakan adalah Gamma(α,β) dan data menunjukkan jumlah kejadian x dalam satu periode, maka distribusi posterior dari λ adalah…
Prior Gamma(α,β) dikalikan dengan likelihood Poisson menghasilkan posterior Gamma(α+x, β+1).
Misalkan data berdistribusi Normal dengan mean μ dan varians diketahui σ²=1. Jika prior untuk μ adalah Normal(0,1), dan diamati satu data x=2, berapakah mean posterior dari μ?
Mean posterior = (τ0² * μ0 + n * σ² * x̄) / (τ0² + nσ²) dengan prior precision 1, data precision 1, n=1, x̄=2, μ0=0, maka mean = (1*0 + 1*1*2)/(1+1) = 2/2 = 1.
Dalam teori keputusan, fungsi risiko (risk function) dari suatu keputusan didefinisikan sebagai…
Risiko R(θ,δ) = E_{X|θ}[L(θ,δ(X))], yaitu nilai harapan fungsi kerugian terhadap distribusi data untuk parameter θ.
Seseorang akan memutuskan menerima atau menolak suatu produk. Jika produk baik (θ=0) memberikan keuntungan 10 dan produk cacat (θ=1) memberikan kerugian 5, dengan probabilitas prior P(θ=0)=0,6 dan P(θ=1)=0,4, berapakah risiko Bayes (expected loss) jika diputuskan selalu menerima produk?
Risiko Bayes = P(θ=1)*5 = 0,4*5 = 2. Keputusan menerima produk hanya rugi saat produk cacat.
Dalam pohon keputusan, analisis Bayesian digunakan untuk memperbarui probabilitas pada simpul peluang (chance node) menggunakan…
Pohon keputusan Bayesian menggunakan data observasi dan teorema Bayes untuk memperbarui probabilitas pada simpul peluang.
Teori kegunaan (utility theory) mengkuantifikasi preferensi pengambil keputusan menggunakan fungsi kegunaan sehingga keputusan optimal adalah yang memaksimalkan…
Dalam teori kegunaan, keputusan optimal dipilih yang memaksimalkan expected utility (nilai harapan kegunaan).
Aturan keputusan Bayes δ*(x) meminimumkan…
Aturan keputusan Bayes meminimumkan risiko Bayes, yaitu rata-rata risiko yang diambil terhadap distribusi prior dari θ.
Dalam analisis regresi Bayesian, distribusi posterior dari koefisien regresi β diperoleh dengan mengombinasikan prior normal dengan likelihood normal. Bentuk distribusi posterior tersebut adalah…
Dengan prior normal dan likelihood normal, distribusi posterior untuk β juga normal (konjugasi).
Coba kerjakan soal Bayesian di Modul 4 dulu, karena distribusi posterior diskret sering jadi langkah awal yang krusial. Kalau sudah paham polanya, baru lanjut ke parameter kontinu di Modul 5 yang biasanya butuh integral lebih teknis. Soal UO sering membandingkan prior dan posterior dalam satu kasus. Jangan lupa catat rumus yang terpakai, karena beda jenis data beda pula distribusi yang cocok.
Soal UAS UT untuk SATS4324 Inferensi Bayesian biasanya mengombinasikan satu konsep diskret dan satu kontinu dalam kasus yang sama. Saya sering lihat mahasiswa bingung saat harus memilih distribusi prior yang tepat untuk data binomial atau Poisson. Kalau masih ragu dengan tahapan Bayes, ada banyak prediksi soal UAS UT lain yang bisa kamu pelajari polanya. Latihan dengan variasi kasus akan membuat intuitionmu semakin tajam.
