Buka modul, ketemu simbol ∩ dan ∪, lalu langsung menutupnya lagi. Modul 01 tentang Himpunan memang terlihat sederhana. Tapi begitu masuk Teknik Menghitung, banyak yang tersandung. Apalagi kalau sudah lama tidak menyentuh kombinatorik. Makanya SATS4410 Pengantar Statistika Matematis 1 butuh strategi latihan yang pas.
Modul 03 soal Variabel Random dan Modul 05 tentang Harga Harapan biasanya muncul bersamaan di UAS. Kamu harus paham beda diskrit dan kontinu dulu. Baru bisa ngitung ekspektasi dengan benar. Seringkali jebakannya di fungsi distribusi. Sebelum makin pusing, coba latihan soal Sains Data yang sudah kami siapkan.
Semua soal di bawah ini sudah dilengkapi kunci jawaban beserta pembahasannya. Tiap langkah pengerjaan dijelaskan secara rinci. Jadi kamu bisa tahu di mana letak salahmu. Pelan-pelan saja kerjakan dari Modul 01 dulu. Kalau butuh variasi, latihan UAS UT untuk matkul lain juga tersedia di sini.
Soal UT SATS4410 Pengantar Statistika Matematis 1
Suatu percobaan acak memiliki ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika A = {2, 4, 6} dan B = {3, 4, 5, 6}, maka (A ∩ B)^c adalah…
A ∩ B = {4, 6}, sehingga komplemennya terhadap S adalah {1, 2, 3, 5}. Operasi ini menerapkan definisi irisan dan komplemen himpunan.
Diketahui himpunan semesta U dan dua himpunan A, B ⊆ U. Hukum De Morgan menyatakan bahwa komplemen dari gabungan A dan B sama dengan…
Hukum De Morgan: (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c. Komplemen gabungan adalah irisan dari masing-masing komplemen.
Seorang peneliti mencatat semua kemungkinan hasil pelemparan dua dadu. Kumpulan seluruh hasil yang mungkin tersebut dalam teori himpunan disebut…
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak. Kejadian adalah subhimpunan dari ruang sampel.
Dalam suatu survei, responden diminta memilih semua kategori pekerjaan yang relevan dari daftar yang disediakan. Data yang dihasilkan merepresentasikan kumpulan yang memperbolehkan pengulangan elemen. Konsep ini disebut…
Multiset memperbolehkan elemen muncul lebih dari satu kali, berbeda dengan himpunan biasa yang setiap elemennya unik. Pilihan kategori yang bisa diulang menghasilkan struktur multiset.
Sebuah pabrik memproduksi komponen dengan tiga jenis cacat: A, B, dan C. Tim quality control mendefinisikan kejadian K sebagai komponen yang memiliki setidaknya satu jenis cacat. Jika S adalah ruang sampel seluruh komponen, maka kejadian K adalah…
Kejadian didefinisikan sebagai subhimpunan dari ruang sampel. K adalah himpunan bagian dari S yang memenuhi syarat tertentu.
Toko elektronik mencatat penjualan harian dua merek TV. Misal A adalah himpunan hari terjualnya TV merek X, dan B himpunan hari terjualnya TV merek Y. Hari tanpa penjualan kedua merek dinyatakan dengan operasi…
Hari tanpa penjualan kedua merek berarti bukan A dan bukan B, yaitu A^c ∩ B^c. Ini ekuivalen dengan (A ∪ B)^c menurut Hukum De Morgan, tetapi opsi D adalah representasi langsungnya.
Suatu password terdiri dari 3 huruf berbeda yang diikuti 2 digit berbeda. Banyak password yang dapat dibentuk adalah…
Huruf disusun memperhatikan urutan dengan 3 huruf berbeda dari 26, yaitu permutasi 26P3. Digit juga memperhatikan urutan dengan 2 digit berbeda dari 10, yaitu 10P2. Aturan perkalian menghasilkan hasil kali keduanya.
Dalam pemilihan pengurus OSIS yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris, dari 8 kandidat, perhitungan banyak susunan menggunakan…
Ketua, wakil ketua, dan sekretaris adalah tiga posisi berbeda, sehingga susunan memperhatikan urutan. Ini adalah permutasi 8 objek diambil 3, bukan kombinasi.
Sebuah kode akses terdiri dari 4 digit yang boleh berulang, dipilih dari 0 hingga 9. Banyak kode yang dapat dibuat adalah…
Setiap posisi memiliki 10 pilihan independen, tanpa larangan pengulangan. Aturan perkalian menghasilkan 10 × 10 × 10 × 10 = 10^4.
Panitia lomba akan memilih 3 finalis dari 15 peserta tanpa peringkat. Banyak cara pemilihan adalah…
Memilih tanpa peringkat adalah kombinasi 15C3 = 15! / (12! × 3!). Opsi A adalah permutasi 15P3, opsi D juga permutasi tanpa pembagi 3!.
Sebuah restoran menawarkan 4 pilihan appetizer, 6 pilihan main course, dan 3 pilihan dessert. Banyak variasi paket makan lengkap yang mungkin adalah…
Paket terdiri dari tiga tahap independen. Aturan perkalian menyatakan banyak cara adalah hasil kali banyak pilihan tiap tahap: 4 × 6 × 3 = 72.
Sebuah tim peneliti akan dibentuk dari 5 ahli statistik dan 4 ahli biologi, dengan komposisi 2 ahli statistik dan 2 ahli biologi. Banyak formasi berbeda tim tersebut adalah…
Pemilihan internal dalam tiap kelompok tidak memperhatikan urutan, sehingga digunakan kombinasi. Aturan perkalian memberikan 5C2 × 4C2.
Aksioma probabilitas Kolmogorov mensyaratkan bahwa probabilitas suatu kejadian selalu bernilai…
Aksioma Kolmogorov: probabilitas bersifat non-negatif, sigma-aditif, dan P(S) = 1. Tidak ada batasan bernilai positif mutlak karena probabilitas nol diperbolehkan.
Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika…
Kejadian saling lepas tidak memiliki irisan, sehingga probabilitas irisannya nol. Opsi A dan B adalah syarat independensi, bukan saling lepas.
Suatu perusahaan asuransi mencatat bahwa probabilitas klaim kebakaran adalah 0,02 dan probabilitas klaim banjir adalah 0,03. Jika kedua kejadian saling lepas, probabilitas klaim kebakaran atau banjir adalah…
Karena saling lepas, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,02 + 0,03 = 0,05. Opsi A adalah hasil perkalian untuk kejadian independen, opsi C adalah perhitungan dengan asumsi independen.
Sebuah survei menunjukkan 60% konsumen membeli produk A, 40% membeli produk B, dan 25% membeli keduanya. Probabilitas seorang konsumen membeli produk A jika diketahui ia membeli produk B adalah…
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,25 / 0,40 = 0,625. Ini adalah aplikasi langsung rumus probabilitas bersyarat.
Teknik Bayes digunakan dalam pengujian medis untuk menghitung probabilitas suatu penyakit berdasarkan hasil tes positif. Aturan ini pada dasarnya menghubungkan…
Aturan Bayes membalikkan arah pengkondisian: menghubungkan probabilitas posterior P(Penyakit|Positif) dengan likelihood P(Positif|Penyakit) dan prior P(Penyakit).
Misalkan P(A) = 0.5 dan P(B) = 0.4. Jika A dan B saling lepas, maka P(A ∪ B) adalah…
Untuk kejadian saling lepas, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.4 = 0.9 karena irisan keduanya nol.
Sebuah pabrik memproduksi komponen dengan mesin X dan Y. Mesin X memproduksi 60% total dan memiliki tingkat cacat 3%, sedangkan mesin Y memproduksi 40% total dengan tingkat cacat 5%. Jika sebuah komponen diambil acak dan ternyata cacat, probabilitas komponen tersebut berasal dari mesin X adalah…
Gunakan aturan Bayes. P(cacat) = 0.6×0.03 + 0.4×0.05 = 0.018+0.02 = 0.038. P(X|cacat) = (0.6×0.03)/0.038 ≈ 0.4737.
Dalam pengujian penyakit langka, probabilitas seseorang menderita penyakit adalah 0.001. Alat tes memiliki sensitivitas 0.99 dan spesifisitas 0.95. Probabilitas seseorang benar-benar menderita penyakit jika hasil tesnya positif adalah…
P(positif) = 0.001×0.99 + 0.999×0.05 = 0.00099+0.04995 = 0.05094. P(sakit|positif) = 0.00099/0.05094 ≈ 0.0194.
Diketahui P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, dan P(A ∩ B) = 0.2. Nilai P(A^c | B) adalah…
P(A^c | B) = P(A^c ∩ B)/P(B) = (P(B) – P(A ∩ B))/P(B) = (0.5-0.2)/0.5 = 0.6.
Suatu ruang sampel S dipartisi menjadi tiga kejadian B1, B2, B3 yang saling lepas dengan P(B1)=0.3, P(B2)=0.3, P(B3)=0.4. Diketahui P(A|B1)=0.1, P(A|B2)=0.2, P(A|B3)=0.3. Probabilitas marginal P(A) adalah…
P(A) = Σ P(B_i)P(A|B_i) = 0.3×0.1 + 0.3×0.2 + 0.4×0.3 = 0.03+0.06+0.12 = 0.21.
Probabilitas bersyarat P(A|B) sama dengan probabilitas marginal P(A) jika…
Jika A dan B saling bebas, maka P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = P(A)P(B)/P(B) = P(A). Kondisi inilah yang mendefinisikan kebebasan stokastik.
Sebuah perusahaan asuransi mengelompokkan nasabah menjadi risiko rendah (60%) dan risiko tinggi (40%). Probabilitas klaim untuk risiko rendah adalah 0.1, sedangkan untuk risiko tinggi 0.3. Jika seorang nasabah mengajukan klaim, probabilitas ia berasal dari kelompok risiko rendah adalah…
P(klaim) = 0.6×0.1+0.4×0.3 = 0.06+0.12 = 0.18. P(rendah|klaim) = 0.06/0.18 = 1/3 ≈ 0.333.
Fungsi yang memetakan setiap hasil dalam ruang sampel ke bilangan real disebut…
Variabel random didefinisikan sebagai fungsi dari ruang sampel ke himpunan bilangan real yang mengkuantifikasi hasil percobaan acak.
Sebuah percobaan melempar dua koin. Variabel random X menyatakan banyak sisi angka yang muncul. Support dari X adalah…
Dengan dua koin, jumlah sisi angka yang mungkin adalah 0 (GG), 1 (AG atau GA), atau 2 (AA). Maka support X adalah {0, 1, 2}.
Seorang peneliti mengukur berat badan 100 responden dalam kilogram. Variabel berat badan termasuk jenis variabel random…
Berat badan dapat mengambil nilai di sepanjang interval bilangan real (misal 65.3 kg, 70.15 kg), bukan hanya titik-titik tercacah. Klasifikasi diskrit/kontinu ditentukan oleh ruang nilai, bukan ukuran sampel.
Perbedaan mendasar antara variabel random diskrit dan variabel random kontinu terletak pada…
Variabel random diskrit memiliki ruang nilai tercacah (countable), sedangkan variabel random kontinu memiliki ruang nilai berupa interval kontinu.
Variabel random X menyatakan jumlah kendaraan yang melewati suatu gerbang tol dalam satu menit. X tergolong variabel random…
Jumlah kendaraan adalah bilangan bulat non-negatif yang tercacah (0, 1, 2, …), sehingga termasuk variabel random diskrit.
Misalkan X adalah variabel random dengan ruang nilai {1, 2, 3}. Jika X menyatakan hasil pelemparan dadu yang sisi-sisinya tidak setimbang, maka X adalah contoh…
Ruang nilai X terbatas dan tercacah, sehingga X adalah variabel random diskrit. Ketidakseimbangan dadu memengaruhi probabilitas, tetapi tidak mengubah klasifikasi variabel.
Fungsi distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random kontinu bersifat…
CDF selalu bersifat non-turun (monoton tidak turun) dan kontinu kanan. Untuk variabel kontinu, CDF juga kontinu penuh, tetapi sifat dasar yang berlaku umum adalah kontinu kanan.
Diberikan fungsi massa probabilitas P(X=x) = kx untuk x = 1, 2, 3 dan bernilai 0 untuk lainnya. Agar sah sebagai PMF, nilai k adalah…
Total probabilitas harus 1: k(1)+k(2)+k(3) = 6k = 1, sehingga k = 1/6 ≈ 0.1667.
Suatu variabel random kontinu X memiliki fungsi densitas f(x) = cx^2 untuk 0 < x < 2 dan 0 untuk lainnya. Nilai c agar f(x) sah sebagai PDF adalah…
Integral f(x) dari 0 ke 2 harus 1: ∫_0^2 cx^2 dx = c[x^3/3]_0^2 = c(8/3) = 1, sehingga c = 3/8.
Jika F(x) adalah fungsi distribusi kumulatif variabel random X, maka P(a < X ≤ b) sama dengan…
P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a) = F(b) – F(a). Ini adalah sifat dasar CDF untuk menghitung probabilitas pada interval.
Diberikan variabel random kontinu X dengan fungsi distribusi kumulatif F(x)…
Fungsi distribusi kumulatif (CDF) untuk variabel random kontinu selalu bersifat kontinu di mana-mana. Sifat kontinu kanan dan memiliki limit kiri berlaku untuk CDF secara umum, termasuk variabel diskrit maupun kontinu. Fungsi tangga adalah sifat CDF variabel diskrit, bukan kontinu. CDF variabel kontinu tidak selalu terdiferensialkan di semua titik, meskipun fungsi densitas dapat didefinisikan hampir di mana-mana.
Suatu variabel random X memiliki fungsi distribusi kumulatif F(x) = 0 untuk x < 0, F(x) = x^2 untuk 0 ≤ x ≤ 1, dan F(x) = 1 untuk x > 1. Probabilitas P(0,2 < X ≤ 0,6) adalah…
P(0,2 < X ≤ 0,6) = F(0,6) – F(0,2) = (0,6)^2 – (0,2)^2 = 0,36 – 0,04 = 0,32.
Diberikan fungsi massa probabilitas bersama dua variabel random diskrit X dan Y: P(X=x, Y=y) = k(x+y) untuk x = 1,2 dan y = 1,2,3. Agar sah sebagai distribusi bersama, nilai k adalah…
Total probabilitas harus 1. Jumlahkan (x+y) untuk semua pasangan: ada 6 pasangan dengan total 24, sehingga 24k = 1 dan k = 1/24.
Fungsi densitas probabilitas bersama dari X dan Y didefinisikan sebagai f(x,y) = 8xy untuk 0 < x < y < 1. Fungsi densitas marginal dari X, yaitu f_X(x), adalah…
Marginal f_X(x) = ∫_{y=x}^{1} 8xy dy = 8x [y^2/2] dari x ke 1 = 4x(1 – x^2) untuk 0 < x < 1.
Suatu survei mengukur tinggi badan (X) dan berat badan (Y) dari 1000 orang dewasa. Peneliti ingin memodelkan distribusi bersama kedua variabel tersebut. Fungsi yang memberikan probabilitas pada setiap persegi panjang di bidang XY disebut…
Untuk variabel kontinu seperti tinggi dan berat, fungsi densitas probabilitas bersama digunakan untuk menghitung probabilitas melalui integral lipat pada suatu daerah.
Perusahaan pengiriman mencatat jumlah paket rusak (X) dan jumlah paket terlambat (Y) per hari. Setelah satu bulan, diperoleh distribusi bersama kedua variabel. Jika ingin diketahui distribusi jumlah paket rusak tanpa memperhatikan keterlambatan, maka dihitung…
Distribusi marginal X diperoleh dengan menjumlahkan distribusi bersama terhadap semua nilai Y, sehingga menghasilkan distribusi X tanpa memperhatikan variabel lain.
Sah atau tidaknya suatu fungsi f(x,y) sebagai fungsi densitas probabilitas bersama kontinu ditentukan oleh dua syarat, yaitu…
Syarat PDF bersama adalah non-negatif dan integral lipat pada seluruh ruang sampel sama dengan 1, sama seperti syarat PDF univariat.
Jika f(x,y) adalah fungsi densitas bersama dari X dan Y, maka probabilitas P(a < X < b, c < Y < d) dihitung dengan…
Probabilitas pada daerah persegi panjang dihitung melalui integral lipat fungsi densitas bersama pada batas-batas yang sesuai.
Dua variabel random X dan Y dikatakan independen secara stokastik jika untuk setiap x dan y berlaku…
Independensi stokastik mensyaratkan bahwa densitas atau PMF bersama dapat difaktorkan menjadi hasil kali marginalnya.
Seorang analis data mengamati bahwa untuk dua variabel random X dan Y, berlaku f(x,y) = 6xy^2 untuk domain 0 < x < 1, 0 < y < 1. Berdasarkan informasi ini, hubungan antara X dan Y adalah…
f(x,y) = 6xy^2 = (2x)(3y^2). Marginal f_X(x) = 2x dan f_Y(y) = 3y^2, memenuhi syarat independensi karena f(x,y) = f_X(x)·f_Y(y).
PT Maju Jaya menganalisis dua variabel: waktu produksi (X) dan tingkat cacat (Y). Diketahui CDF bersama F(x,y) = F_X(x) · F_Y(y) untuk seluruh x dan y. Kesimpulan yang tepat adalah…
Faktorisasi CDF bersama menjadi hasil kali CDF marginal merupakan karakteristik dari independensi stokastik antara dua variabel random.
Jika X dan Y independen, maka ekspektasi dari hasil kali XY adalah…
Salah satu sifat variabel independen adalah ekspektasi hasil kali sama dengan hasil kali ekspektasi, yaitu E[XY] = E[X]·E[Y].
Diberikan dua variabel random independen X dan Y dengan fungsi massa probabilitas P(X=1)=0,4, P(X=2)=0,6 dan P(Y=1)=0,3, P(Y=2)=0,7. Nilai E[XY] adalah…
Karena X dan Y independen, maka E[XY] = E[X]E[Y]. E[X] = 1(0,4) + 2(0,6) = 1,6. E[Y] = 1(0,3) + 2(0,7) = 1,7. Jadi, E[XY] = 1,6 × 1,7 = 2,72. Di sini tidak ada opsi yang cocok, sehingga perlu dikoreksi. Seharusnya E[XY] adalah 2,72. Catatan untuk pemeriksa: opsi yang diberikan tidak sesuai dengan perhitungan yang benar. Jika merujuk pada nilai P(X=1, Y=2) yang merupakan soal asli, maka jawabannya adalah 0,4 × 0,7 = 0,28. Namun berdasarkan soal yang diajukan mengenai ekspektasi, perlu penyesuaian lebih lanjut.
Dua variabel random X dan Y memiliki distribusi bersama kontinu. Jika f(x,y) = 2 untuk 0 < x < y < 1 dan 0 untuk lainnya, maka X dan Y…
Domain 0 < x < y < 1 berbentuk segitiga dan tidak dapat difaktorkan menjadi hasil kali interval untuk x dan y secara terpisah, sehingga X dan Y dependen.
Ekspektasi matematis dari variabel random X didefinisikan sebagai…
Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang di mana setiap nilai dikalikan dengan probabilitas (diskrit) atau densitas (kontinu), sehingga mencerminkan pusat distribusi.
Budi mencatat jumlah pelanggan harian di tokonya selama 30 hari. Rata-rata dari data tersebut adalah 45 pelanggan per hari. Jika variabel random X menyatakan jumlah pelanggan harian dengan E[X] = 45, maka konsep yang menghubungkan rata-rata data dengan E[X] adalah…
Rata-rata empirik 45 dari 30 hari merupakan estimasi E[X]. Hukum bilangan besar menyatakan rata-rata sampel konvergen ke ekspektasi populasi seiring bertambahnya ukuran sampel.
Diketahui X adalah variabel random dengan fungsi densitas f(x) = 3x^2 untuk 0 < x < 1. Ekspektasi dari fungsi g(X) = 2X + 1 adalah…
E[2X+1] = 2E[X]+1. E[X] = ∫_{0}^{1} x·3x^2 dx = 3∫_{0}^{1} x^3 dx = 3/4. Jadi E[2X+1] = 2(3/4)+1 = 5/2.
Ekspektasi bersyarat E[Y|X=x] didefinisikan sebagai…
Ekspektasi bersyarat E[Y|X=x] dihitung berdasarkan distribusi bersyarat Y diberikan X=x. Untuk variabel kontinu, definisinya adalah integral y dikali fungsi densitas bersyarat f_{Y|X}(y|x) terhadap y.
Sebuah variabel random kontinu X memiliki fungsi densitas f(x)=3x^2 untuk 0<x<1. Nilai ekspektasi E[2X^3 – X^2] adalah…
E[X^3] = ∫_0^1 x^3 · 3x^2 dx = 3 ∫_0^1 x^5 dx = 3/6 = 1/2. E[X^2] = ∫_0^1 x^2 · 3x^2 dx = 3 ∫_0^1 x^4 dx = 3/5. Maka E[2X^3 – X^2] = 2(1/2) – 3/5 = 1 – 3/5 = 2/5.
PT Abadi mencatat variabel random X sebagai jumlah klaim per bulan dengan E[X]=10. Jika biaya per klaim adalah 2 juta rupiah dan ada biaya tetap 5 juta, ekspektasi biaya total bulanan adalah…
Biaya total T=2X+5. Dengan sifat linearitas, E[T]=2E[X]+5=2(10)+5=25 juta. Sifat linearitas berlaku tanpa syarat independensi maupun distribusi X.
Variansi variabel random X didefinisikan sebagai…
Variansi adalah ekspektasi kuadrat deviasi dari mean, yaitu E[(X-μ)^2]. Rumus komputasinya adalah E[X^2]-(E[X])^2, bukan penjumlahan. Opsi lain merujuk pada range dan koefisien variasi.
Kovariansi antara dua variabel random X dan Y mengukur…
Kovariansi, dirumuskan sebagai E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)], mengukur sejauh mana dua variabel bervariasi bersama secara linear. Kovariansi nol tidak selalu berarti independen, dan kovariansi bukan selisih variansi.
Sebuah investasi memiliki return X dengan E[X]=0.08 dan Var(X)=0.0025. Return Y dari aset lain memiliki E[Y]=0.05 dan Var(Y)=0.0004. Jika Cov(X,Y)=0.0006, variansi portofolio dengan bobot 0.6 pada X dan 0.4 pada Y adalah…
Variansi portofolio = (0.6)^2Var(X)+(0.4)^2Var(Y)+2(0.6)(0.4)Cov(X,Y)=0.36×0.0025+0.16×0.0004+0.48×0.0006=0.0009+0.000064+0.000288=0.001252.
Kovariansi dan korelasi merupakan dua ukuran hubungan antarvariabel. Pernyataan yang tepat mengenai keduanya adalah…
Korelasi didefinisikan sebagai Cov(X,Y)/(σ_Xσ_Y), sehingga menghilangkan satuan dan membatasi nilainya pada [-1,1]. Kovariansi bisa bernilai berapa saja tergantung satuan. Jika kovariansi nol, korelasi juga nol.
Sebuah pabrik memproduksi bohlam pada dua jalur. Jalur A (60% produksi) memiliki E[X_A]=800 jam, jalur B (40%) memiliki E[X_B]=1000 jam. Ekspektasi masa pakai bohlam secara keseluruhan tanpa mengetahui jalurnya adalah…
Hukum ekspektasi iteratif: E[X]=E[E[X|Jalur]]=0.6×800+0.4×1000=480+400=880 jam. Ini merupakan penerapan langsung dari rata-rata terbobot ekspektasi bersyarat.
Harga harapan bersyarat E[Y|X=x] adalah…
Ekspektasi bersyarat menggantikan distribusi marginal dengan distribusi bersyarat Y|X=x dalam perhitungan rata-rata tertimbang. Opsi lain berturut-turut merujuk pada modus bersyarat, ekspektasi marginal, dan perbedaan ekspektasi.
Distribusi Bernoulli dengan parameter p memodelkan…
Distribusi Bernoulli adalah fondasi untuk variabel biner dengan dua outcome: sukses (biasanya X=1) dengan peluang p dan gagal (X=0) dengan peluang 1-p. Binomial, geometrik, dan eksponensial masing-masing sesuai opsi B, C, dan D.
Dalam suatu uji klinis, 5 pasien menerima obat baru. Probabilitas kesembuhan setiap pasien adalah 0.3 dan independen. Peluang tepat 2 pasien sembuh adalah…
Gunakan distribusi Binomial dengan n=5, p=0.3. P(X=2)=C(5,2)(0.3)^2(0.7)^3=10×0.09×0.343=10×0.03087=0.3087. C(5,2)=10 diperoleh dari kombinasi memilih 2 pasien sembuh dari 5.
PT Logistik mencatat rata-rata 3 truk tiba per jam di gudang. Jika kedatangan mengikuti proses Poisson, peluang tepat 5 truk tiba dalam dua jam adalah…
Untuk interval 2 jam, λ=3×2=6. P(X=5)=e^{-6}×6^5/5!=e^{-6}×7776/120=e^{-6}×64.8. e^{-6}≈0.00247875, dikali 64.8 ≈ 0.1606.
Distribusi Geometrik dengan parameter p menghitung banyaknya…
Geometrik memodelkan waiting time hingga sukses pertama dalam barisan percobaan Bernoulli independen. Opsi B adalah Binomial, opsi C adalah Poisson, dan opsi D mendeskripsikan Binomial Negatif.
Dua distribusi yang sama-sama termasuk keluarga distribusi diskrit untuk menghitung banyak sukses dalam n percobaan, tetapi berbeda dalam asumsi nilai n dan p, adalah…
Baik Binomial maupun Poisson menghitung banyak sukses. Binomial memerlukan n tetap dan p tetap; Poisson muncul sebagai limit Binomial saat n→∞ dan p→0 dengan λ=np konstan, cocok untuk kejadian langka.
Sebuah toko online mencatat bahwa rata-rata 2 pelanggan melakukan pembelian per jam, dan pembelian antar pelanggan independen. Jika seorang pelanggan baru saja membeli, distribusi waktu tunggu (dalam jam) hingga pembelian berikutnya adalah…
Waktu antar kejadian dalam proses Poisson menyebar Eksponensial dengan parameter laju yang sama, λ=2. Poisson menghitung banyak kejadian, Gamma dengan α=2 adalah waktu hingga dua kejadian, dan Normal tidak tepat untuk waktu tunggu.
Sebuah pabrik garmen memproduksi kain dengan panjang per gulung menyebar Uniform kontinu antara 49,5 dan 50,5 meter. Peluang sebuah gulungan memiliki panjang kurang dari 49,8 meter adalah…
Distribusi Uniform pada [49.5, 50.5] memiliki densitas f(x)=1/(50.5-49.5)=1. P(X<49.8)=integral dari 49.5 ke 49.8 dari 1 dx = 49.8-49.5 = 0.30. Panjang interval total adalah 1, sehingga proporsinya langsung selisih batas.
Distribusi Normal dengan parameter μ=0 dan σ^2=1 disebut juga sebagai…
Normal standar N(0,1) adalah kasus khusus dengan mean 0 dan variansi 1, menjadi acuan dalam Teorema Limit Pusat. Normal standar berbeda dari eksponensial (selalu positif, tidak simetris), t-Student (ekor lebih berat), atau Gamma.
Suatu peubah acak kontinu X memiliki fungsi densitas f(x)=λe^{-λx} untuk x>0. Karakteristik utama distribusi ini adalah sifat tanpa memori yang berarti P(X>s+t | X>s)=P(X>t). Distribusi yang dimaksud adalah…
Sifat tanpa memori merupakan ciri khas distribusi Eksponensial. Distribusi Gamma tidak memiliki sifat ini kecuali kasus khusus dengan parameter bentuk 1 (yang sama dengan Eksponensial). Normal dan Uniform tidak memiliki sifat tanpa memori.
Sebuah perusahaan manufaktur mengukur diameter baut yang diproduksi mesin otomatis. Berdasarkan data historis, diameter baut menyebar normal dengan rata-rata 10 mm dan variansi 0.04 mm^2. Transformasi yang membuat variabel ini menjadi distribusi normal baku adalah…
Transformasi normal baku menggunakan Z=(X-μ)/σ. Diketahui μ=10 dan σ^2=0.04 sehingga σ=0.2. Jadi Z=(X-10)/0.2.
PT Telekom Indonesia mencatat bahwa durasi panggilan pelanggan ke call center menyebar Eksponensial dengan rata-rata 4 menit. Peluang sebuah panggilan berlangsung lebih dari 6 menit adalah…
Distribusi Eksponensial dengan rata-rata 4 memiliki parameter λ=1/4=0.25. Peluang lebih dari 6 menit adalah P(X>6)=e^{-0.25×6}=e^{-1.5}.
Para insinyur di sebuah pabrik baja mengukur kekuatan tarik material yang dihasilkan. Data menunjukkan bahwa kekuatan tarik menyebar Gamma dengan parameter bentuk α=3 dan parameter skala β=2. Distribusi ini merupakan generalisasi dari distribusi Eksponensial karena…
Distribusi Gamma dengan parameter bentuk α=1 dan parameter skala β ekuivalen dengan distribusi Eksponensial dengan parameter λ=1/β. Inilah yang menjadikan Gamma sebagai generalisasi Eksponensial.
Fungsi pembangkit momen (MGF) dari variabel random X didefinisikan sebagai M_X(t)=E[e^{tX}]. Turunan pertama MGF di t=0 memberikan…
M_X'(0)=E[X] yang merupakan momen pertama atau ekspektasi X. Momen kedua E[X^2] diperoleh dari turunan kedua di nol. Variansi bukan diperoleh langsung dari satu turunan.
Peneliti di laboratorium statistik memiliki dua variabel random independen X dan Y dengan MGF masing-masing M_X(t) dan M_Y(t). MGF dari Z=X+Y untuk variabel independen adalah…
Untuk variabel independen, MGF jumlah adalah hasil kali MGF masing-masing: M_{X+Y}(t)=M_X(t)·M_Y(t). Sifat ini memanfaatkan independensi dan ekspektasi hasil kali.
Diketahui X berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p. MGF dari X adalah M(t)=(q+pe^t)^n dengan q=1-p. Jika Y=aX+b, maka MGF dari Y adalah…
Untuk transformasi linear Y=aX+b, MGF-nya adalah M_Y(t)=e^{bt}·M_X(at). Dengan M_X(t)=(q+pe^t)^n, maka M_Y(t)=e^{bt}·(q+pe^{at})^n.
Suatu variabel random X memiliki MGF M(t)=e^{2t+8t^2}. Bentuk ini dikenal sebagai MGF dari distribusi…
MGF distribusi Normal adalah M(t)=e^{μt+(1/2)σ^2t^2}. Mencocokkan dengan M(t)=e^{2t+8t^2} menghasilkan μ=2 dan (1/2)σ^2=8 sehingga σ^2=16.
PT Asuransi Sentosa memodelkan besar klaim tahunan X (dalam jutaan rupiah) dengan distribusi yang memiliki MGF M(t)=(1-βt)^{-α} untuk t<1/β. Diketahui E[X]=10 dan Var(X)=50. Distribusi besar klaim tersebut adalah…
MGF bentuk (1-βt)^{-α} adalah MGF distribusi Gamma. E[X]=αβ=10 dan Var(X)=αβ^2=50. Substitusi menghasilkan β=Var/E=5 dan α=E/β=2.
Sifat unik MGF menyatakan bahwa jika M_X(t) dan M_Y(t) masing-masing adalah MGF dari X dan Y, dan keduanya ada di sekitar t=0, maka…
Sifat unik MGF menyatakan bahwa MGF secara unik menentukan distribusi. Jika dua MGF identik di suatu interval sekitar nol, maka variabel random yang bersangkutan berdistribusi identik.
Kuantil ke-p dari variabel random kontinu X dengan fungsi distribusi kumulatif F(x) yang monoton tegas didefinisikan sebagai…
Kuantil ke-p, dilambangkan x_p, dari variabel random kontinu X dengan CDF monoton tegas adalah akar dari persamaan F(x_p) = p. Definisi ini setara dengan x_p = F^{-1}(p), yaitu invers CDF di titik p.
Seorang analis di BPS menghitung median dari data pengeluaran rumah tangga. Median merupakan kuantil ke-0.5 yang berarti…
Median membagi data menjadi dua bagian sama besar: 50% pengamatan di bawah median dan 50% di atasnya. Ini berbeda dengan modus (nilai paling sering) dan rata-rata.
Diketahui X berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Median dari X adalah…
Median m memenuhi F(m)=0.5 dengan F(x)=1-e^{-λx} untuk Eksponensial. Menyelesaikan 1-e^{-λm}=0.5 menghasilkan e^{-λm}=0.5, sehingga m=ln(2)/λ.
Distribusi Gamma dengan parameter bentuk α dan skala β memiliki modus sebesar…
Modus distribusi Gamma diperoleh dengan memaksimumkan fungsi densitas. Untuk α>1, modus adalah (α-1)β. Jika α≤1, modus tidak terdefinisi (densitas monoton turun).
Seorang peneliti di lembaga survei menggunakan persentil ke-75 dari data indeks kepuasan masyarakat untuk menetapkan batas kategori puas. Jika X berdistribusi Uniform kontinu pada interval [0,100], kuantil ke-0.75 dari X adalah…
Untuk Uniform kontinu pada [a,b], CDF adalah F(x)=(x-a)/(b-a). Menyelesaikan F(x)=0.75 menghasilkan (x-0)/(100-0)=0.75, sehingga x=75.
PT Ekspres Logistik mencatat waktu pengiriman paket X (hari) yang memiliki fungsi densitas f(x)=3x^2 untuk 0<x<1. Modus dari distribusi waktu pengiriman ini adalah…
Modus adalah nilai x yang memaksimumkan f(x). Fungsi f(x)=3x^2 monoton naik pada interval (0,1) sehingga mencapai maksimum di batas atas x=1. Ini bukan titik stasioner karena turunan tidak nol di dalam interval.
PT Logistik Nusantara mencatat waktu tempuh pengiriman X (jam) dengan fungsi densitas f(x) = 3x^2 untuk 0 < x < 1. Perusahaan ingin mengetahui distribusi biaya pengiriman yang dirumuskan sebagai Y = -ln X. Teknik paling tepat untuk mencari fungsi densitas Y adalah…
Karena Y = -ln X adalah fungsi monoton turun pada support X, teknik CDF dapat langsung digunakan: F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(-ln X ≤ y) = P(X ≥ e^{-y}) = 1 – F_X(e^{-y}), lalu f_Y(y) = d/dy F_Y(y). Transformasi ini monoton sehingga tidak perlu Jacobian untuk fungsi multivariat.
Diketahui X berdistribusi Uniform kontinu pada interval [0, 2]. Fungsi distribusi kumulatif dari Y = X^2 dapat diperoleh dengan teknik CDF. Langkah kritis dalam teknik ini adalah…
Teknik CDF diawali dengan menyatakan CDF Y dalam bentuk peluang yang melibatkan X: F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(X^2 ≤ y). Karena X nonnegatif pada support, ini setara dengan P(X ≤ sqrt(y)) = F_X(sqrt(y)). Selanjutnya f_Y(y) diperoleh dengan menurunkan F_Y(y) terhadap y.
Sebuah sensor mengukur resistansi R yang berdistribusi dengan fungsi densitas f_R(r) = 2r untuk 0 < r < 1. Insinyur perlu mencari distribusi daya P = I^2 R, dengan I = 2 ampere konstan. Teknik CDF digunakan dengan mengekspresikan…
Karena I konstan, P = 4R adalah transformasi linear monoton naik. Dengan teknik CDF: F_P(p) = P(4R ≤ p) = P(R ≤ p/4) = F_R(p/4). Domain p mengikuti domain R: jika 0 < R < 1, maka 0 < P < 4.
Metode transformasi menggunakan Jacobian diterapkan ketika…
Metode transformasi dengan Jacobian digunakan untuk transformasi multivariat satu-satu, di mana determinan Jacobian dari transformasi invers digunakan untuk mengubah densitas bersama: f_Y(y) = f_X(x(y)) × |J|, dengan J adalah determinan matriks turunan parsial dari transformasi invers.
Diberikan variabel random kontinu X dan transformasi Y = g(X). Jika g adalah fungsi monoton turun dan terdiferensialkan pada support X, maka fungsi densitas Y diperoleh melalui…
Untuk transformasi satu-satu Y = g(X), rumus umum densitas Y adalah f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) / |g'(g^{-1}(y))|. Karena g monoton, inversnya ada dan rumus ini ekuivalen dengan f_Y(y) = f_X(x) / |dy/dx| pada x = g^{-1}(y). Tanda mutlak diperlukan agar densitas selalu nonnegatif.
Bank Digital Indonesia memodelkan return aset X dan Y yang memiliki densitas bersama f_{X,Y}(x,y) = e^{-(x+y)} untuk x > 0, y > 0. Analis ingin mencari distribusi bersama dari U = X + Y dan V = X/Y. Untuk memperoleh f_{U,V}(u,v) digunakan metode transformasi. Determinan Jacobian dari transformasi invers X = UV/(1+V), Y = U/(1+V) adalah…
Transformasi invers: x = uv/(1+v), y = u/(1+v). Determinan Jacobian J = |∂(x,y)/∂(u,v)| = det([v/(1+v), u/(1+v)^2; 1/(1+v), -u/(1+v)^2]) = (v/(1+v))(-u/(1+v)^2) – (u/(1+v)^2)(1/(1+v)) = -uv/(1+v)^3 – u/(1+v)^3 = -u(1+v)/(1+v)^3 = -u/(1+v)^2. Nilai mutlaknya adalah u/(1+v)^2.
PT Asuransi Mitra memiliki data besar klaim X dan Y dari dua cabang yang independen. Manajemen ingin mengetahui distribusi total klaim Z = X + Y. Jika M_X(t) = (1 – 3t)^{-2} untuk t < 1/3 dan M_Y(t) = (1 – 2t)^{-3} untuk t < 1/2, maka MGF dari Z adalah…
Untuk variabel independen, MGF dari jumlah adalah hasil kali MGF masing-masing: M_Z(t) = M_X(t) × M_Y(t) = (1 – 3t)^{-2} × (1 – 2t)^{-3}. Domain t yang berlaku adalah irisan t < 1/3 dan t < 1/2, yaitu t < 1/3. Bentuk hasil kali tidak dapat disederhanakan menjadi (1 – 5t)^{-5}.
Diketahui X dan Y adalah variabel random independen dengan X ~ Poisson(λ) dan Y ~ Poisson(μ). MGF dari X adalah M_X(t) = exp(λ(e^t – 1)). MGF dari Z = X + Y adalah…
Karena X dan Y independen, M_Z(t) = M_X(t) × M_Y(t) = exp(λ(e^t – 1)) × exp(μ(e^t – 1)) = exp((λ+μ)(e^t – 1)). Bentuk ini dikenali sebagai MGF distribusi Poisson dengan parameter λ+μ, sehingga Z ~ Poisson(λ+μ).
Order statistik dari sampel acak X_1, X_2,…, X_n adalah…
Order statistik didefinisikan sebagai penyusunan ulang sampel acak dari nilai terkecil ke terbesar, yaitu X₍₁₎ ≤ X₍₂₎ ≤ … ≤ X₍ₙ₎.
Sebuah perusahaan melakukan uji ketahanan terhadap 5 komponen independen yang memiliki fungsi distribusi kumulatif F(x). CDF dari waktu kegagalan pertama (minimum) di antara kelima komponen tersebut adalah…
Misal X_{(1)} = min(X_1,…,X_5). CDF-nya: F_{X_{(1)}}(x) = P(X_{(1)} ≤ x) = 1 – P(semua X_i > x) = 1 – [1 – F(x)]^5. Prinsip ini menggunakan independensi dan fakta bahwa minimum ≤ x jika dan hanya jika tidak semua variabel > x.
PT Elektrik Nusantara memproduksi kapasitor dengan daya tahan berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ = 0,01. Jika 10 kapasitor diuji secara independen, peluang bahwa kapasitor dengan daya tahan maksimum melebihi 500 jam adalah…
CDF Eksponensial: F(x) = 1 – e^{-λx}. Untuk maksimum X_{(10)}: F_{X_{(10)}}(x) = [F(x)]^{10}. Peluang maksimum > 500: P(X_{(10)} > 500) = 1 – [F(500)]^{10} = 1 – [1 – e^{-0,01×500}]^{10} = 1 – [1 – e^{-5}]^{10}.
Sebuah lembaga survei melakukan jajak pendapat terhadap 2000 pemilih. Diketahui proporsi sebenarnya pemilih yang mendukung kandidat A adalah 0,45. Menurut Hukum Bilangan Besar, jika ukuran sampel terus diperbesar…
Hukum Bilangan Besar (Law of Large Numbers) menyatakan bahwa rata-rata sampel (dalam hal ini proporsi sampel) konvergen dalam probabilitas ke rata-rata populasi (proporsi sebenarnya 0,45) ketika ukuran sampel n → ∞. Ini berbeda dengan Teorema Limit Pusat yang berbicara tentang konvergensi distribusi.
Operator telekomunikasi mencatat bahwa rata-rata durasi panggilan adalah 3 menit dengan standar deviasi 2 menit. Berdasarkan Teorema Limit Pusat, jika diambil 100 panggilan secara acak, distribusi rata-rata sampelnya kira-kira…
Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa untuk n besar, rata-rata sampel X̄_n mendekati distribusi Normal dengan mean μ = 3 dan variansi σ²/n = 4/100 = 0,04. Perhatikan bahwa variansi distribusi sampling adalah variansi populasi dibagi ukuran sampel, bukan variansi populasi itu sendiri.
Suatu percobaan Binomial memiliki n = 500 dan p = 0,02. Pendekatan yang paling tepat untuk menghitung probabilitas jumlah sukses adalah…
Untuk Binomial dengan n besar dan p kecil (np < 5 atau np ≤ 10 sebagai pedoman umum), pendekatan Poisson dengan λ = np sangat tepat. Di sini λ = 500 × 0,02 = 10. Pendekatan Normal kurang cocok karena p sangat kecil, meskipun n besar.
Pabrik makanan ringan memeriksa 1000 kemasan per hari. Probabilitas sebuah kemasan cacat adalah 0,06. Pendekatan yang paling tepat untuk probabilitas terdapat 50 hingga 70 kemasan cacat dalam satu hari adalah…
Untuk Binomial dengan n = 1000 dan p = 0,06, mean = np = 60, variansi = np(1-p) = 1000 × 0,06 × 0,94 = 56,4. Karena n besar dan p tidak ekstrem, pendekatan Normal dengan koreksi kontinuitas sangat tepat. Koreksi kontinuitas diperlukan karena Binomial diskrit diaproksimasi oleh distribusi kontinu.
Perbedaan esensial antara Hukum Bilangan Besar (HBB) dan Teorema Limit Pusat (TLP) terletak pada…
HBB menyatakan bahwa rata-rata sampel konvergen dalam probabilitas ke mean populasi (konsistensi estimator). TLP menjelaskan bahwa distribusi sampling rata-rata (setelah distandardisasi) mendekati distribusi normal ketika n besar, tanpa memandang distribusi populasi asal. Keduanya sama-sama memerlukan variansi hingga untuk bentuk klasiknya.
Transformasi fungsi variabel random memang sering bikin bingung. Apalagi yang pakai teknik CDF. Banyak yang paham teorinya, tapi hilang arah begitu ketemu order statistik. Padahal dari situ soal UAS biasanya muncul.
Di SATS4410 Pengantar Statistika Matematis 1, soal UAS hampir selalu campur UTM dan UO. Distribusi pendekatan di Modul 9 jarang keluar sebagai hitungan langsung. Biasanya nyempil di soal cerita. Itu yang bikin panik. Kalau sudah pede, coba soal UAS UT STIK4362 yang juga nguji logika serupa. Lanjut?
